trois exposés en théorie des groupes
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Algèbre et géométrie
Actions localement quadratiques de groupes de Chevalley, et représentations minuscules
Sophie Germain salle 1016Un très beau théorème de Timmesfeld caractérise, sans hypothèse sur K, la représentation naturelle de G = SL(2,K) parmi les Z-modules : c'est le seul Z-module irréductible V où les sous-groupes unipotents de G agissent `quadratiquement', i.e. = 0 (en itérant les commutateurs).Montrer ce théorème, c'est essentiellement savoir reconstruire sur un Z-module quadratique une structure de K-espace vectoriel compatible avec l'action de G.L'exposé présentera une généralisation de ce théorème aux autres groupes de Chevalley simples : si G est un tel groupe, et V un Z-module sur lequel chaque sous-groupe […]
Fields of definition and essential dimension in representation theory
ENS Salle WA classical theorem of Brauer asserts that every finite-dimensional non-modular representation p of a finite group G defined over a field K, whose character takes values in a subfield k, descends to k, provided that k has suitable roots of unity. If k does not contain these roots of unity, it is natural to ask how far p is from being definable over k. The classical answer is given by the Schur index of p, which is the smallest degree of a finite field extension l/k such that p can […]
Groupe de Brauer invariant et obstruction de descente itérée
ENS Salle WPour une variété quasi-projective, lisse, géométriquement intègre sur un corps de nombre k, on montre que l'obstruction de descente itérée est équivalente à l'obstruction de descente. Ceci répond une question ouverte de Poonen. L'idée clé est la notion de sous-groupe de Brauer invariant et la notion d'obstruction de Brauer-Manin invariant étale pour une k-variété munie d'une action d'un groupe linéaire connexe.
Un théorème d’Ax-Lindemann non-archimédien
ENS Salle WOn présentera un résultat de type Ax-Lindemann pour les produits de courbes de Mumford sur un corps p-adique. Notre preuve reprend en l'adaptant les grandes lignes de l'approche de Pila dans le cas archimédien. En particulier nous utilisons un théorème de Pila-Wilkie p-adique obtenu avec R. Cluckers et G. Comte. Il s'agit d'un travail en commun avec A. Chambert-Loir.
Triangulation des ensembles semi-algébriques p-adiques
ENS Salle WOn sait que les ensembles semi-algébriques p-adiques admettent une décomposition cellulaire semblable à celle des semi-algébriques réels (Denef 1984). On sait aussi les classifier à bijection semi-algébrique près (Cluckers 2001), mais pas à homéomorphismes semi-algébriques près. En introduisant une notion appropriée de simplexe sur les corps p-adiquement clos, on peut montrer que tout ensemble semi-algébrique p-adique est semi-algébriquement homéomorphe à un complexe simplicial p-adique, exactement comme dans le cas réel clos. C'est ce résultat récent de `triangulation p-adique' que je tâcherai de présenter, avec ses applications les plus directes (existence […]
Séries linéaires limites et applications
ENS Salle WJe présente un formalisme combinatoire pour l'étude des dégénérescences des séries linéaires dans une famille de courbes algébriques. J'en déduis quelques applications dont notamment l'équirépartition selon la mesure admissible de Zhang des points de ramification des fibrés en droite sur les courbes de Berkovich, un analogue non-archimédien du théorème de Mumford-Neeman. Je discuterai aussi la question de la convergence de la mesure d'Arakelov vers la mesure de Zhang dans une famille de surfaces de Riemann.
Théorèmes de relèvement et cohomologie des groupes profinis lisses.
ENS Salle WLa notion de groupe profini lisse permet d'axiomatiser les propriétés cohomologiques qui se déduisent du théorème de Hilbert 90 en cohomologie Galoisienne. L'objectif de cette introduction est de proposer une nouvelle approche effective à la conjecture de Bloch-Kato, démontrée par Rost, Suslin et Voevodsky. Un ingrédient clé est l'étude des puissances divisées de modules sur les vecteurs de Witt, munies des opérateurs Frobenius et Verschiebung. On présentera quelques résultats partiels et applications d'intérêt propres, notamment au relèvement des représentations Galoisiennes. Il s'agit d'un travail en cours avec Mathieu Florence.
On the classification of quadratic forms over an integral domain of a global function field.
ENS Salle WLet C be a smooth projective curve defined over the finite field F_q (q is odd) and let K=F_q(C) be its function field. Any (non-empty) finite set S of closed points of C gives rise to an integral domain O_S := F_q in K. We show that given an O_S-regular quadratic space (V,q) of rank n ?oo 3, the set of genera in the proper classification of quadratic O_S-spaces isomorphic to (V,q) in the flat or étale topology, is in 1:1 correspondence with 2.Br(O_S), thus there are 2|S|-1 genera. Furthermore, […]
Courbes auto-évitantes et isomorphisme local
Sophie Germain salle 1016La notion d'isomorphisme local a été introduite pour l'étude des pavages apériodiques (pavages de penrose, quasicristaux...). On considère un espace euclidien de dimension finie. On identifie deux sous-ensembles si et seulement s'ils sont équivalents à translation près. On dit qu'un sous-ensemble E satisfait la propriété d'isomorphisme local si chaque partie bornée de E apparaît dans toute boule de rayon suffisamment grand. Deux sous-ensembles E,F sont localement isomorphes si toute partie bornée de l'un apparaît aussi dans l'autre.Deux pavages sont élémentairement équivalents si et seulement s'ils sont localement isomorphes. Les pavages […]
Beyond o-minimality, and why
Salle W ENSO-minimal structures on the real field have many desirable properties. As examples: (a) Hausdorff (and even packing) dimension agrees with topological dimension on locally closed definable sets. (b) Locally closed definable sets have few rational points (in the sense of the Pila-Wilkie Theorem). (c) For each positive integer p, every closed definable set is the zero set of a definable C^p function. (d) Connected components of definable sets are definable.But to what extent is o-minimality necessary for these properties to hold? I will discuss this question, and illustrate via examples […]
Tame Expansions of o-minimal Structures
Salle W ENSExpanding a model theoretically `tame' structure in a way that it stays `tame' has been a theme in the recent years. In the first part of this talk, we present a history of work done in that frame. Then we focus on the case of expansions of o-minimal structures by a unary predicate. There is a dividing line according to whether the predicate is dense or discrete