Algèbre et géométrie

Dans ce travail en commun avec Yuri Tschinkel, nous établissons une formule asymptotiquepour le nombre de points de hauteur bornée d'une variété torique.

J'explique l'approche de la gémométrie d'Arakelov dans les majorations uniformes des nombres de points rationnels de hauteurs bornées dans les variétés arithmétiques de degré et dimension fixés dans un espace projectif. Cette approche permet de trouver des majorations explicites, qui sont utiles dans l'étude des points de petite hauteur.

Notre résultat principal combine une conclusion de typeGrunwald-Wang pour les groupe arbitraires, une version effective duthéorème de Hilbert et le problème inverse de Galois (travail commun avecPierre Dèbes).

Les structures galoisiennes dont il est question ici décrivent lastructure de module sous-jacente à l'action d'un schéma en groupes(commutatif) fini et plat sur un schéma. Quand l'action est modérée(dans un sens que nous préciserons), le module obtenu est projectif.Nous montrerons comment l'utilisation des log schémas permet deréinterpréter certaines actions modérées en termes de torseurs pourla topologie log plate définie par Kato. Pour finir, nous donneronsdes applications à l'arithmétique des variétés abéliennes.

Je présenterai d'abord une brève introduction à la théorie de la dimension essentielle quiest une mesure de complexité des certaines structures algébriques, par exemple destorseurs d'un groupe algébrique. Je discuterai ensuite la dimension essentielle des torseurs d'un tore algébrique

Canonical dimension is a numerical invariant of algebraic varieties X over a field F, that measures how far X is from having a F-rational point. This concept has been introduced in 2005 by G. Berhuy and Z. Reichstein, and was recently presented at ICM 2010 by N. Karpenko. In the first part of the talk I want to give you an idea of canonical dimension and to show how it is related to essential dimension. In the second part I will present a general result on canonical dimension, where the […]