Algèbre et géométrie

Soit X une variété de type général. On conjecture que le degré canonique deg(C) d'une courbe C générique sur X est majoré linéairement en son genre géométrique g(C). Cette inégalité deg(C)

Grauert et Manin ont montré qu'une famille non-isotriviale de courbes compactes hyperboliques n'a qu'un nombre fini de sections. Nous montrerons un analogue pour une famille nonbirationnellement isotriviale d'hypersurfaces de grand degré et de grande variabilité d'un espaceprojectif complexe : il existe un fermé strict de l'espace total qui contient l'image de toutes les sections.

On étend la définition des espaces homogènes sphériques et de leurs plongements au cas d'un corps quelconque. On montre qu'à un plongement d'un espace homogène sphérique fixé X, on peut associer un éventail colorié stable par le groupe de Galois. On présente des exemples où cette correpondance est parfaite.

Soit X une variété projective lisse sur in corps de nombres, fibrée au dessus d'une courbe C, à fibres géométriquement intègres. En supposant que les fibres d'un sous-ensemble hilbertien généralisé satisfont le principe de Hasse (resp. l'approximation faible) et la finitude du groupe de Tate-Schafarevitch de la jacobienne de C), on montre que l'obstruction de Brauer-Manin provenant de la courbe d'en bas est la seule au principe de Hasse (resp. à l'approximation faible) pour les zéros-cycles de degré 1 sur X.

Dans ce travail en collaboration avec J.F. Voloch, on discute si l'obstruction de Brauer-Manin est l'unique obstruction au principe de Hasse pour les points entiers d'une courbe affine hyperbolique C.Dans le cas où C est rationnelle, on conjecture une réponse positive et on montre que cette conjecture admet plusieurs formulations équivalentes et on la relie à une conjecture de Skolem. Dans le cas d'une courbe elliptique épointée, on montre qu'une variante plus forte (i.e. avec des congruences locales) de la question admet une réponse négative.

Les courbes de Reichardt-Lind et de Schinzel sont des exemples classiques de courbes projectives et lisses sur Q possédant un point adélique mais pas de point rationnel. Je montrerai que leur groupe fondamental arithmétique n'admet pas de section au-dessus du groupe de Galois absolu de Q. Cela répond à une question de Stix et confirme, dans le cas de la courbe de Schinzel, la prédiction fournie par la conjecture des sections de Grothendieck.