Algèbre et géométrie

Dans un premier temps, nous présenterons quelques développements récents de la théorie des groupes de Grothendieck-Witt supérieurs (alias K-théorie hermitienne). Nous appliquerons ensuite ces résultats pour esquisser une preuve du fait que les modules stablement libres de rang d-1 sur une algèbre lisse de dimension d sur un corps algébriquement clos sont libres.

Les torseurs versels ont été introduits par J.-L. Colliot-Thélène et J.-J. Sansuc pour étudier le principe de Hasse et l'approximation faible sur des variétés telles que les surfaces de Châtelet. Dans un travail avec Tim Browning et Régis de la Bretèche, nous avons utilisé ces torseurs comme première étape pour démontrer le principe de Batyrev et Manin pour certaines de ces surfaces. Le but de cet exposé est de présentercette étape de la preuve.

Résumé sur la page du séminaire

Artin conjectured that any form of degree d over a p-adic field should have a non-trivial zero as soon as the number of variables exceeds d2. There are related statements for systems of forms.The talk will give a review of Artin's conjecture, with particular emphasis on recent workconcerning systems of quadratic forms.

Nous nous intéressons au problème de la distribution des entiers sommes d'un carré, d'une puissance k-ième et d'une puissance l-ième, avec 1 < k

Soit X une variété de type général. On conjecture que le degré canonique deg(C) d'une courbe C générique sur X est majoré linéairement en son genre géométrique g(C). Cette inégalité deg(C)

Grauert et Manin ont montré qu'une famille non-isotriviale de courbes compactes hyperboliques n'a qu'un nombre fini de sections. Nous montrerons un analogue pour une famille nonbirationnellement isotriviale d'hypersurfaces de grand degré et de grande variabilité d'un espaceprojectif complexe : il existe un fermé strict de l'espace total qui contient l'image de toutes les sections.