Séminaire Raconte-moi

Les multicomplexes sont des outils d'algèbre homologique qui généralisent la notion de bicomplexes. Déjà présents sous diverses formes dans les travaux de Wall (pour des résolutions d'extensions de groupes) ou de Liulevicius en algèbre homologique, ils sont régulièrement présents dans la littérature comme outil efficace pour calculer des groupes d'homologie. Plus récemment on les rencontre dans le calcul d'invariants homologiques de variétés. L'objectif de mon exposé est d'introduire les multicomplexes, les suites spectrales associées ainsi qu'une théorie d'homotopie pour les multicomplexes.

La géométrie asymptotique d'un groupe discret peut être étudiée à partir des espaces de fonctions harmoniques dans le groupe. C'est le cas du bord de Martin, qui correspond aux fonctions harmoniques positives, et du bord de Poisson, qui correspond aux fonctions harmoniques bornées. Dans cet exposé, nous introduirons ces concepts et expliquerons leurs liens avec les marches aléatoires dans les groupes. Nous discuterons en détail le cas des groupes hyperboliques, notamment des groupes libres, et présenterons des résultats qui décrivent le bord de Poisson au travers du bord de Gromov, […]

Je parlerai de mes travaux avec Laura Monk, dans lesquels on s'intéresse à la plus petite valeur propre du laplacien sur une surface hyperbolique compacte, choisie aléatoirement selon la mesure de Weil—Petersson.

Je présenterai des résultats d'existence et d'unicité de traces dans l'espace des fonctions de type positif des réseaux de rang supérieur. Je mentionnerai quelques applications à la théorie des représentations unitaires et à la structure de leurs C﹡-algèbres. Ces résultats fournissent des généralisations noncommutatives de théorèmes dus à Margulis, Stuck—Zimmer et Nevo—Zimmer.

Les surfaces arithmétiques formelles-analytiques sont un analogue — mélant arithmétique et analyse complexe — des voisinages tubulaires des courbes dans les surfaces. Je donnerai plusieurs applications de ces objets à des questions de finitude des groupes fondamentaux.

Koebe a démontré un résultat d'uniformisation pour les surfaces de Riemann compactes à travers les « groupes de Schottky ». Ce résultat a été étendu au cadre non archimédien par Mumford. J'expliquerai comment, en utilisant les « espaces de Berkovich », on peut mener une étude uniforme de tous ces objets et de leurs invariants associés.

I’ll talk about relations between products of Dehn twists along simple closed curves on an oriented surface F. We view these products as elements of the boundary-relative mapping class group of F. A famous example is the `lantern relation’, discovered by D. Johnson in the 70s by drawing pictures. I’ll describe how many such relations, such as the lantern, can be discovered by viewing F as a complex 1-manifold sitting inside of a complex 2-manifold as part of a `Lefschetz fibration’. Time permitting, I’ll mention higher-dimensional generalizations and open problems.