Variétés rationnelles

Soient K un corps et A une K-algèbre de dimension finie n. Soit r un entier satisfaisant 0 <: r

Soit K un corps de caractéristique nulle et soit X une variété surla clôture algébrique de K. On suppose que X est isomorphe à toutes ses conjuguéespar le groupe de Galois absolu de K. Autrement dit, le corps des modules de X estK. Soit L une extension algébrique de K. On dit que L est corps de définition de X s'il existeune variété sur L qui devient isomorphe à X après extension des scalaires.On peut se demander quels sont les corps de définition de X.On dit qu'il y a une […]

Soit X une variété algébrique définie sur un corps de nombres k.La théorie classique de la descente de Colliot-Thélène et Sansuc (raffinée parSkorobogatov) consiste en gros à décrire les propriétés arithmétiques de X viacelles des X-torseurs sous les groupes de type multiplicatif. Les résultatsprincipaux de cette théorie nécessitent l'hypothèse que X est propre, ou tout aumoins que les seules fonctions inversibles sur X sont constantes. On expliqueracomment on peut s'affranchir de cette hypothèse à condition de travailler avecl'hypercohomologie de certains complexes au lieu de considérer seulement desmodules galoisiens.

Mori et Mukai ont montré en 1982 qu'une surface K3 sur C contient toujours une courbe rationnelle. Leur méthode montre même qu'une surface K3 générale dans son espace de déformations contient une infinité de courbes rationnelles. Le but de cet exposé est de présenter un analogue en caractéristique mixte de la méthode de Mori-Mukai, dû à Bogomolov-Hassett-Tschinkel, qui permet de montrer qu'une surface K3 complexe de rang de Picard 1 et de genre 2 contient toujours une infinité de courbes rationnelles.

Soit X une variété irréductible symplectique définie sur un corps de nombres K. On supposeque le nombre de Picard de X est au moins 2 ou que le second nombre de Betti de X est pair.On montre alors qu'il existe une extension finie L/K et un ensemble de places non archimédiennesS de L de densité 1 telles que la réduction de X en toute place de S a un invariant de Hasse-Wittnon trivial.

Le groupe de Brauer d'une surface d'Enriques S (quotient d'une surface K3 X par une involution)a un seul élément non trivial. Cet élément devient-il trivial sur X ? Je caractériserai les surfacespour lesquelles cela se produit, et montrerai qu'elles forment une réunion dénombrabled'hypersurfaces dans l'espace des modules.

Dans un premier temps, nous présenterons quelques développements récents de la théorie des groupes de Grothendieck-Witt supérieurs (alias K-théorie hermitienne). Nous appliquerons ensuite ces résultats pour esquisser une preuve du fait que les modules stablement libres de rang d-1 sur une algèbre lisse de dimension d sur un corps algébriquement clos sont libres.

Les torseurs versels ont été introduits par J.-L. Colliot-Thélène et J.-J. Sansuc pour étudier le principe de Hasse et l'approximation faible sur des variétés telles que les surfaces de Châtelet. Dans un travail avec Tim Browning et Régis de la Bretèche, nous avons utilisé ces torseurs comme première étape pour démontrer le principe de Batyrev et Manin pour certaines de ces surfaces. Le but de cet exposé est de présentercette étape de la preuve.

Résumé sur la page du séminaire

Artin conjectured that any form of degree d over a p-adic field should have a non-trivial zero as soon as the number of variables exceeds d2. There are related statements for systems of forms.The talk will give a review of Artin's conjecture, with particular emphasis on recent workconcerning systems of quadratic forms.

Nous nous intéressons au problème de la distribution des entiers sommes d'un carré, d'une puissance k-ième et d'une puissance l-ième, avec 1 < k