Variétés rationnelles

La théorie de Bruhat-Tits permet de classifier les groupes réductifs sur un corps valué hensélien et partant sur un corps F de séries formelles itérées sur un corps k. Si G/F est un groupe réductif, nous montrerons que le groupe de classes de R-équivalence G(F)/Rest isomorphe à un groupe H(k)/R où H est un groupe algébrique linéaire. Cette technique de spécialisation, issue des exemples de Platonov de groupes spéciaux linéaires, permet de construire de nouveaux cas de variétés de groupes non rationnelles.

Let X be a projective variety over a global field k. Consider the set of projective varieties X' that become isomorphic to X over every completion of k. It is natural to wonder if the set of such X', taken up to k-isomorphism, is finite. Mazur proved such a finiteness result conditional on the Tate--Shafarevich conjecture when k is a number field and the component group of the automorphism scheme of X satisfies some group-theoretic finiteness properties. When k is a global function field, several new difficulties arise. We explain […]

Harari and Voloch made a conjecture for the equality between the integral points and the integral Brauer-Manin set for hyperbolic curves inside P1. In this talk, we modify this conjecture and prove the modified version of this conjecture is true over rationals and imaginary quadratic fields. This is a joint work with Qing Liu.

A cohomological invariant of an algebraic group G defined over a field Fwith values in a Galois module C is a morphism of functorsH^1(-,G) --> H^d(-,C) from the category of field extensions of F tothe category of pointed sets. Cohomological invariants of algebraictori and their applications will be discussed. (This is joint workwith S. Blinstein, UCLA.)

Dans cet exposé nous présenterons quelques résultats concernant l'étude du motif de Chow des variétés de Severi-Brauer généralisées. En vertu d'un résultat de Chernousov et Merkurjev, le motif de ces variétés à coefficients dans un corps fini se décompose de manière essentiellement unique en une somme directe de motifs indécomposable. Nous établirons la classification complète de ces motifs en fonction des classes des algèbres centrales simples sous-jacentes dans le groupe de Brauer du corps de base. Cette classification est un exemple frappant d'application de la théorie des motifs supérieurs développée […]

Nous allons parler de l'obstruction de Brauer-Manin pour les 0-cycles sur les variétés rationnellement connexes, particulièrement sur certaine fibrations au-dessus de l'espace projectif et certaine espaces homogènes.Références: http://arxiv.org/abs/1011.5995 et http://arxiv.org/abs/1107.1634

Given a number field k and a prime number p, we are interested in mixed Artin-Tate-motives M over k and in the ell-adic Galois representations attached to them. With these objects one can associate so-called Tate-Shafarevich groups. Their vanishing is, by construction, the obstruction to certain local-global principles. I will show how Leopoldt's conjecture for k and p follows from the finiteness of these groups.

Soit X une variété abélienne sur un corps algébriquement clos.Un fibré projectif sur X est dit homogène s'il est isomorphe à ses tirésen arrière par toutes les translations. On présente une classificationdes fibrés projectifs homogènes en termes de groupes algébriques

Soit X une variété abélienne sur un corps algébriquement clos.Un fibré projectif sur X est dit homogène s'il est isomorphe à ses tirésen arrière par toutes les translations. On présente une classificationdes fibrés projectifs homogènes en termes de groupes algébriques

Si X est une variété complexe projective lisse de dimension n, le groupe des classes de Hodge entières sur X de degré 2n-2 modulo le sous-groupe engendrépar les classes de 1-cycles de X est un invariant birationnel de X. Ce groupe est en général non trivial, comme montré par Kollár.Je discute dans cet exposé quelques résultats semblant indiquer quece groupe est trivial en généralpour les variétés rationnellement connexes. Tout d'abord, il est trivialpour les variétés uniréglées de dimension 3.En dimension quelconque, il est trivial pour les variétés rationnellement connexessi la […]

We will look at the arithmitic properties of cubic surfaces. The main focus will be on 27 the lines and the Galois action on them.Different descriptions of the moduli space of cubic surfaces are used to construct several Galois groups.Finally we will inspect the Manin conjecture for these surfaces.

The goal of this talk is to report on a project to compute the Picard rank for certain K3 surfaces. The methods are based on reduction modulo p. They will be explained in some detail and examples will be given.At the end of the talk, a statistical test will be presented showing that for each K3 surface in two large samples, suitable primes may be found and the Picard rank may be determined. The samples are motivated by classical families considered by 19th century geometers.