Si G est un l-groupe fini agissant sur un espace affine défini sur un corps fini Kd'ordre premier à l, Serre et Bialynicki-Birula ont montré que G fixe un point rationnel.On généralise ce résultat au cas d'un corps K valué discret et henséliendont le corps résiduel est algébriquement clos de caractéristique première à l.
In the first part of my talk I will discuss the meaning of Rost nilpotence for motives and explain why this is an important property. In the second part I will review my proof of this property for (geometrically rational) surfaces.
Dans ce travail en collaboration avec Anthony Várilly-Alvarado, nous contruisons une surfaced'Enriques sur le corps des nombres rationnels dont l'ensemble des points adéliques pour l'equivalencede Brauer-étale est vide (en particulier X n'a pas de point rationnel) mais pour laquelleil n'y a d'obstruction de Brauer-Manin à l'existence d'un point rationnel.
The J-invariant of a linear algebraic group measures the subring of rational cycles on the variety of its Borel subgroups. In the talk I'm going to introduce this invariant and discuss its possible values. The restrictions come from Steenrod operations and from indices of Tits algebras. If time permits, I will discuss applications of the J-invariant to cohomological invariants of algebraic groups.
Cet exposé est basé sur un travail commun avec K. Zainoulline et N. Semenov. Dans un premier temps, nous expliquerons comment définir le J-invariant d'une algèbre à involution à partir de son groupe d'automorphisme, en particulier dans le cas trialitaire. En utilisant le lien avec les indices des algèbres de Tits présenté par N. Semenov dans son exposé, nous montrerons comment calculer le J-invariant en petit degré. Enfin, nous obtiendrons des restrictions supplémentaires sur les valeurs possibles, qui ne semblent pas pouvoir être détectées à l'aide des opérations de Steenrod.
Les multiplicateurs des similitudes d'une forme quadratique de dimension 12 dont le discriminant et l'invariant de Witt-Clifford sont triviaux sont dans le groupe engendré par les normes des extensions quadratiques qui la déploient. Il en résulte que le groupe orthogonal de type adjoint de cette forme est R-trivial, et que la conjecture de Kneser-Tits vaut pour les groupes d'indice de Tits E_{8,2}^{66} sur un corps arbitraire. (Travail en collaboration avec Skip Garibaldi, Parimala et Richard Weiss.)
It is a widely accepted philosophy that the arithmetic of a variety,say over a number field, is governed by its geometry. Indeed, weexpect many rational points, if any, on Del Pezzo surfaces, while onsurfaces of general type, we expect that the rational points are notdense. On K3 surfaces, as for Del Pezzo surfaces, we expect morerational points for higher Picard numbers: for high enough Picardnumber, rational points are potentially dense by a result of Tschinkeland Bogomolov. In this talk, I will highlight some results on thearithmetic of K3 surfaces. I […]
On conjecture que toute surface K3 sur un corps algébriquement closcontient une infinité de courbes rationnelles. En travaillant encaractéristique mixte, on montre que c'est le cas pour les surfaces K3complexes dont le rang de Picard est impair.
Soit k un corps, K une clôture séparable, G le groupe de Galois absolu. Pour X une variété projective et lisse sur k, le groupe de Brauer de X s'envoie dans les invariants sous G du groupe de Brauer de X_K. On étudie le quotient. S'il reste du temps, sur un corps de nombres, on discutera la structure de l'ensemble de Brauer-Manin des variétés dont le groupe de Picard géométrique est sans torsion. On considèrera en particulier le cas des surfaces quartiques diagonales. (Travaux en commun avec A. Skorobogatov, Imperial […]
Nous présenterons une formule qui décrit une partie du groupe de Brauer d'un espace homogène sur corps de caractéristique nulle grâce à un groupe d'hypercohomologie galoisienne d'un complexe explicite associé à l'espace homogène. Ce travail généralise des résultats antérieurs sur le groupe de Brauer algébrique, dus entre autres à Sansuc, Kottwitz et Borovoi-van Hamel. Contrairement à ces résultats, le sous-groupe du groupe de Brauer considéré ici contient en général des éléments transcendants,qui sont nécessaires pour étudier l'arithmétique des espaces homogènes. En particulier, dans le cas d'un corps de nombres, le […]
On expliquera comment la théorie triangulée des motifs de Voevodsky permet d'associer des foncteurs dérivés à la cohomologie non ramifiée, et on en calculera quelques uns. Il: s'agit d'un travail commun avec Sujatha.
Les groupes de cohomologie non ramifiée, dont on sait qu'ils sont desinvariants birationnels des variétés projectives et lisses sur un corps,apparaissent comme les termes E_2^0p de la suite spectrale de Bloch-Ogus.Sur un corps de dimension cohomologique d, on va établir l'invariancebirationnelle de quelques autres termes de cette suite spectrale. Sur uncorps fini, on relie un de ces invariants avec le conoyau de l'applicationclasse de cycles l-adique étale pour les 1-cycles.
