ANNÉE 2024-2025

Un empilement de sphères est une collection de boules de rayon 1 disjointes dans un espace Euclidien. Un exemple d'une question classique que l'on peut se poser est : quelle est la proportion maximale possible de l'espace que l'on peut remplir avec ces boules ? Il existe très peu de dimensions dans lesquelles la réponse à cette question naïve est connue. Dans cet exposé je vais parler de la théorie générale des empilements de sphères, sa connections avec d'autres domaines de mathématiques (comme la géométrie systolique) et les méthodes qui […]

Les tresses sont des objets que l’on rencontre dans la vie quotidienne : des entrelacements formés de plusieurs fils, brins, cheveux… Dans cet exposé, nous aborderons la théorie des groupes de tresses, qui sont fondamentaux en topologie de basse dimension. Après une introduction à leur définition et à leurs propriétés de base, nous explorerons un résultat clé : le théorème de Dehornoy, qui établit que les groupes de tresses sont ordonnables à gauche. Nous verrons pourquoi cette propriété est importante, notamment en lien avec les anneaux de groupes. Pour conclure, […]

Dans une lettre à Jean-Pierre Serre datée du 16 août 1964, Alexandre Grothendieck, en spéculant sur la possibilité d’une théorie des motifs, définissait un objet qu’on appelle aujourd’hui l’anneau de Grothendieck des variétés, qui a joué un rôle de plus en plus important en géométrie algébrique dans les trente dernières années. Cet anneau est engendré par les variétés algébriques (c’est-à-dire, des objets géométriques donnés par les lieux de zéros communs de systèmes polynomiaux), regardées à isomorphisme et découpage près. Après une introduction générale de l’anneau de Grothendieck des variétés et […]

La théorie des jeux est la théorie mathématique des interactions stratégiques. La notion d’équilibre de Nash y joue un rôle central, souvent utilisé comme outil prédictif dans de nombreux modèles économiques récents (par exemple, Jean Tirole, prix « Nobel » d’économie, utilise l’équilibre de Nash dans un article de 2023 sur la « moralité des marchés »).Cette théorie se caractérise par la diversité des outils mathématiques utilisés (logiques, topologiques, algébriques, probabilistes, etc.), et ses nombreuses interactions avec d’autres disciplines (psychologie, biologie, informatique, logique, économie, sciences sociales, sciences comportementales, etc.). Nous […]

Intuitivement, étant donnée une équation polynomiale à coefficients dans un corps K, on s'attend à ce qu'elle ait plus de chances d'avoir des solutions si elle fait intervenir un grand nombre de variables et si elle a un petit degré. Ce sont Artin et Lang qui, dans les années 50, ont formalisé cette idée. Je présenterai un certain nombre de résultats et de problèmes ouverts dans ce domaine où les questions ont tendance à être élémentaires à formuler mais difficiles à résoudre.

Si l’on considère un (grand) graphe dessiné sur la sphère, on obtient un espace métrique en munissant l’ensemble des sommets de la distance de graphe, la distance entre deux sommets étant le nombre minimal d’arêtes sur un chemin les reliant. Si l’on choisit le graphe au hasard, et si on fait tendre sa taille vers l’infini, on montre que l’espace métrique associé converge, en un sens que l’on précisera, vers un espace métrique aléatoire appelé la sphère brownienne. On donnera quelques idées de la preuve de ce résultat.

En mathématiques, la compacité est une propriété très forte : elle permet d'étudier un objet donné en examinant simplement des sous-objets de taille inférieure. On peut étudier de grands objets finis en examinant certains de leurs sous-ensembles plus petits, ou on peut essayer de comprendre un objet infini en examinant des morceaux finis. En poussant plus loin, on peut étudier des objets qui ne sont pas dénombrables à l'aide d'approximations dénombrables. Dans cet exposé, nous examinerons un exemple spécifique, les limites inverses supérieures, et comment, dans ce cas, un phénomène  […]