Dans cet exposé, nous partirons à la découverte d'un modèle classique de physique statistique décrivant le comportement de polymères dans un solvant. Nous parlerons en particulier des liens profonds que ces modèles entretiennent avec la physique théorique et les autres branches des mathématiques.
L’observation à un instant T du mouvement brownien d’un nuage de points indistinguables dont on connaît la position initiale conduit naturellement au problème de transport optimal de Monge, comme on le comprend dorénavant bien à la suite d’un article de Schrödinger datant des années 30. En poussant un peu plus loin l’analyse, à l’aide du principe de grandes déviations et de techniques de calcul des variations, on arrive à un système dynamique de particules liée au groupe symétrique, dont on peut ensuite dériver par analyse asymptotique le modèle de gravitation […]
Le but de l'exposé est de présenter le problème de Cauchy pour les équations principales de la relativité générale, les équations d'Einstein. Nous commencerons par une introduction à la géométrie Lorentzienne et aux équations d'Einstein puis nous présenterons quelques résultats classiques sur le sujet. Nous terminerons l'exposé par l'énoncé de quelques conjectures importantes du domaine.
Consider a set of convex figures in R^2. It can be proven that one of these figures can be moved out of the set by translation without disturbing the others. Therefore, any set of planar figures can be disassembled by moving all figures one by one. However, attempts to generalize it to R^3 have been unsuccessful and finely quite unexpectedly interlocking structures of convex bodies were found. These structures can be used in engineering. In a small grain there is no room for cracks, and crack propagation should be arrested […]
L'évolution de la température dans un matériau est régie par l'équation de la chaleur. On s'intéressera au cas où le matériau est inhomogène: c'est par exemple un matériau composite, traversé par des fibres placées aléatoirement. Dans la limite des grandes échelles, ces hétérogénéités se moyennisent, et en première approximation, tout se passe comme si la température évoluait dans un milieu homogène équivalent. Le premier but de l'exposé sera d'expliquer l'émergence de cette loi des grands nombres un peu particulière. On verra ensuite les progrès récents permettant de préciser ce phénomène, via des estimées d'erreur et une forme de […]
J'évoquerai des souvenirs, et tenterai d'expliquer quelques unes des idées révolutionnaires que Grothendieck a introduites, et des applications qui en ont découlé.
Cet exposé est une invitation à réfléchir aux formes des polyèdres convexes et compacts de dimension finie quelconque. J’expliquerai que lorsque le polyèdre est générique du point de vue de ses faces de dimension maximale, cette forme peut être reconstituée à partir du graphe formé par les sommets et les arêtes du polyèdre. Puis j’expliquerai que lorsque le polyèdre est générique du point de vue des sommets, cela n’est plus possible. Enfin, je parlerai de la caractérisation des suites de nombres de sommets des polyèdres génériques. La situation pour les polyèdres non-génériques reste ouverte.
On va étudier la relation entre groupes, géométrie, et logique dupremier ordre dans un cas simple.Les groupes qu'on considèrera seront des groupes d'isométries d'espaceshyperboliques, mais n'ayant pas d'action intéressante sur des arbres.La théorie élémentaire d'un groupe est l'ensemble (infini) de tous lesenoncés qu'il satisfait (on parle de theorie elementare car on nequantifie que sur des éléments individuels du groupe, par opposition àdes sous-ensembles, sous-groupes, morphismes...).On montrera que dans cette classe de groupes, deux groupes ont lamême théorie élémentaire si et seulement si ils sont isomorphes.
La théorie classique de l'électrostatique décrit l'énergie d'intéraction de N particules identiques négativement chargées se repoussant librement sur un condensateur (un compact de l'espace euclidien). Les configurations à l'équilibre, qui minimisent cette énergie, ne sont pas uniques en général, mais un résultat remarquable montre que l'unicité est restaurée à la «limite thermodynamique», i.e. lorsque N tend vers l'infini. En d'autres termes, les configurations à l'équilibre s'équirépartissent sur une uniquemesure de probabilité, décrivant l'état à l'équilibre macroscopique du système. Le but de cet exposé est d'introduire les bases de la théorie du potentiel sur lesquelles repose cet énoncé d'équirépartition, […]
Artin a résolu le 17ème problème de Hilbert en démontrant qu'un polynôme en n variables à coefficients réels qui est positif est somme de carrés de fractions rationnelles. Pfister a spectaculairement amélioré cet énoncé en montrant qu'il est en fait somme d'au plus 2^n carrés de fractions rationnelles. Peut-on encore améliorer le théorème de Pfister ? Dans cet exposé, nous survolerons ces questions, et expliquerons des progrès récents et des problèmes ouverts, en mettant l'accent sur l'influence de la géométrie.
La théorie des systèmes dynamiques s’attache historiquement à étudier les propriétés asymptotiques d’un système qui évolue au cours du temps. Il est bien connu qu’une telle évolution peut être selon les cas régulière ou chaotique. Ces comportements s’observent déjà sur des systèmes explicites très simples en petite dimension. Je vais essayer de décrire quelques uns de ces exemples, et comment ils s’inscrivent dans le panorama (conjectural) des systèmes dynamiques en dimension 2.
La combinatoire additive concerne les propriétés des sous-ensembles finis des groupes abéliens, et en particulier des ensembles finis de nombres entiers. Il y a beaucoup de problèmes et de théorèmes interessants dans le domaine, dont je vais présenter quelques uns. Une des idées centrales est celle d'une structure quasi-aléatoire, qui est une structure qui ressemble à une structure qui a été choisie au hasard, même si ce n'est pas forcément le cas.
