Séminaire Des mathématiques

Algèbre extérieure, algèbre symétrique et théorème de l'indice.

The P vs NP problem : Internet security, efficient computations and the limit of human knowledge

Matrices à signes alternants

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On se donne un jeu de 52 cartes. Chacun sait que si on mélange ce paquet suffisamment de fois, l’ordre des cartes finira par être aléatoire (uniforme). Mais combien de fois faut-il vraiment mélanger le paquet ?Cette question simple nous mènera vers une théorie mathématique très riche, qui mêle tout a la fois des probabilités, de la théorie de la représentation, ainsi que de l’analyse et de la géométrie. En particulier nous introduirons le phénomène de cutoff, découvert par Aldous et Diaconis dans les années 80, qui décrit une transition […]

Supposons que deux routes mènent d’une même ville à une autre, que l’une soit une autoroute toute droite, et l’autre un chemin campagnard plus long ; si tout le monde choisit la première, elle sera bientôt congestionnée et donc moins efficace que l’autre ; au lendemain, tout le monde changera d’avis et empruntera l’autre... et ça sera encore pire ! Y a-t-il un équilibre ? Est-ce que l’équilibre garantit le moindre temps de parcours pour tout le monde ?Je présenterai les ingrédients pour formaliser ce problème sur un réseau fini […]

Un réseau euclidien est la donnée d’un espace vectoriel euclidien de dimension finie V et d’un sous-groupe Gamma de V, constitué des points de V dont les coordonnées, dans une certaine base de V, sont des nombres entiers. Les réseaux euclidiens interviennent dans de nombreux domaines des mathématiques, allant de la théorie des nombres à la géométrie riemannienne, ainsi qu’en physique du solide, en cryptographie, etc... En dépit de la simplicité de leur définition et de leur ubiquité, ces objets restent aujourd’hui bien mystérieux. Dans cet exposé, on évoquera plusieurs […]

Le célèbre théorème de Perron-Frobenius vient de fêter ses 100 ans. Des démonstrations (parfois simples) et des généralisations voient le jour régulièrement. Je vais sélectionner quelques éléments importants dans l’histoire de cette évolution, à travers des exemples en mécaniques statistiques, systèmes dynamiques et probabilités. Une des plus grandes contributions vient de G. Birkhoff qui introduisit en 1957 un principe de contraction uniforme pour des cônes (réels). Ceci a été ma source d’inspiration pour développer un principe de contraction uniforme pour des `cônes complexes’ et ainsi obtenir des théorèmes de type […]

Je commencerai par rappeler un vieux problème, dit des boeufs et attribué à Archimède. Sa résolution, essentiellement équivalente à celle de l’équation de Pell-Fermat, conduit naturellement à la construction de certaines variétés (hyperboliques réelles) associées à des formes quadratiques. Après une brève introduction à la géométrie hyperbolique, j’expliquerai en quoi ces variétés ont une musique particulière en détaillant en particulier un problème ouvert important : la conjecture de Selberg.

Transport optimal, de l’économie à la physique à la géométrie

Soit K un corps. La correspondance de Langlands est une bijection entre deux types d’objets mathématiques : des représentations du groupe Gln(K) des matrices inversibles de dimension n à coefficients dans K et des représentations, dites galoisiennes, qui décrivent l’arithmétique du corps K. Dans cet exposé, nous présentons la version p-adique de cette correspondance, version qui n’existe que pour n=2 et K le corps des nombres p-adiques. De multiples stratégies sont développées pour traiter les autres cas. C’est l’objet du programme de Langlands p-adique.