Séminaire Des mathématiques

 On s’intéressera à l’opérateur obtenu en perturbant le Laplacien par un bruit blanc. Cet opérateur peut être vu comme une limite d’échelle de l’Hamiltonien d’Anderson sur réseau. On présentera des résultats sur la construction de cet opérateur aléatoire à l’aide de la théorie des structures de régularité d’Hairer, puis sur les propriétés de son spectre, notamment sur la localisation de ses fonctions propres.

 Nous verrons qu'il est possible de faire des statistiques sur les nombres premiers, et de prédire quelles lois de probabilités dictent leur répartition. En particulier je parlerai de progressions arithmétiques et de petits, moyens et grands écarts.

 Les jeux à champ moyen constituent un domaine de recherche nouveau et actif depuis les articles fondateurs de Lasry et Lions en 2007. Il s’ agit d’étudier le comportement asymptotique d’ équilibres de Nash quand le nombre de joueurs tend vers l’infini. Un joueur représentatif choisit alors sa stratégie en tenant compte d’une information globale sur les états ou les stratégies des autres joueurs. On insistera particulièrement sur les systèmes d’ équations aux dérivées partielles qu’on obtient dans les cas les plus simples, et on s’ intéressera à des questions […]

  Imaginons qu'on ait besoin de calculer de manière approximative le minimum d'une fonction. Étant fixée une durée de calcul maximale, quelle qualité d'approximation peut-on espérer ? Nous répondrons à cette question sous l'hypothèse que la fonction est à gradient lipschitzien, d'abord dans le cas convexe puis dans le cas général.

 Si le terme modulation fait partie du langage courant, notamment en ce qui concerne les ondes radio (AM/FM), la théorie des modulations telle qu'initiée par le mathématicien britannique Whitham dans les années 1960-1970 recèle encore bien des questions ouvertes, malgré des avancées récentes. Il sera question dans cet exposé de modulations d'ondes modélisées par des équations aux dérivées partielles non-linéaires dispersives, dont des archétypes sont les équations de Korteweg-de Vries et de Schrödinger non-linéaire, omniprésentes en physique mathématique.

Un réseau "unimodulaire pair" est un réseau  L  de l'espace euclidien  R^n  qui possède d'une part un domaine fondamental de volume 1, et d'autre part tel que  x.x  est un entier pair pour tout élément x de L. Le réseau  E_8  (n=8) et le réseau de Leech (n=24) en sont des exemples particulièrement fameux. Les réseaux unimodulaires pairs interviennent dans des domaines variés des mathématiques : problèmes d'empilements de sphères, classification des formes quadratiques ``sur Z'', théorie des formes modulaires, invariants des variétés, classification des groupes simples finis sporadiques... et […]

Un nombre complexe est dit transcendent s’il ne vérifie aucune équation polynomiale (non triviale) à coefficients rationnels. Tandis que “pratiquement tous” les nombres complexes sont transcendants, il est souvent difficile de décider si un certain nombre est transcendant. Pire, c’est déjà non trivial d'en donner un seul exemple explicite ! Ce n’est qu’au XIXème siècle que les résultats arrivent : Liouville (1844) montre que le réel \[ \sum_{n = 1}^\infty 10^{-n!} = 0.110001000000000000000001\dots \] est transcendant, Hermite (1873) que $e$ est transcendant, et Lindemann (1882) qu’étant donné un nombre complexe […]

Dans cet exposé, j'essaierai de relier les problèmes de discrétisation de dynamiques, de rotations d'images numériques et de pavages par des cubes.

Soit A un anneau commutatif unitaire. Peut-on définir l'ensemble des éléments non nuls de A par une formule ne contenant que des conjonctions et disjonctions (mais pas de négations !) d'égalités polynomiales, et seulement le quantificateur ∃ ? Moret-Bailly a décrit de grandes classes d'anneaux pour lesquelles la réponse est positive, et d'autres pour lesquelles elle est négative ; ces descriptions que je présenterai mettent en jeu de l'algèbre commutative et de la géométrie analytique complexe.

Le théorème central limite est un des résultats fondamentaux de la théorie des probabilités, qui indique que les sommes de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées sont asymptotiquement gaussiennes. Dans cet exposé, j'expliquerai comment ce résultat se place dans un contexte plus général : les projections de basses dimension de vecteurs en grande dimension sont souvent (mais pas toujours) proches de suivre un loi gaussienne.

Considérons un espace donné par l’ensemble des solutions complexes d’un système d’équations polynomiales. En dézoomant de plus en plus, on voit apparaître un espace d’apparence plus simple, de nature essentiellement combinatoire. Cette propriété peut s’interpréter comme une instance d’un phénomène plus général de dégénérescence d’espaces complexes vers un espace d’une autre sorte, dit espace ultramétrique. Nous expliquerons comment donner un sens précis à ces idées à l’aide de la théorie des espaces de Berkovich hybrides. Nous présenterons également quelques exemples d’applications.

Considérons un espace muni d’une multiplication m : X x X -> X. On peut demander que m soit commutative, c’est-à-dire m(x,y) = m(y,x), mais souvent en topologie, c’est trop demander. Que se passe-t-il si on relaxe cette condition, en demandant uniquement que (x,y) -> m(x,y) soit homotope à (x,y) -> m(y,x), c’est-à-dire qu’on peut déformer continument la première application en la seconde ? Peut-on prétendre que notre multiplication est commutative ? Cette question est à l’origine de beaucoup de développements modernes en théorie de l’homotopie, et nous verrons qu’elle […]