Le but de cet exposé est de donner quelques idées sur la démonstration de la stabilité dans l'espace d'énergie des structures très particulières du type 'breathers', qui sont des solutions de l'équation KdV modifiée et sine-Gordon dans la droite. Il s'agit d'un travail en collaboration avec M.A. Alejo.
Le système parabolique-elliptique de Patlak Keller Segel a été largement étudié ces vingt dernières années, et l'influence de la masse (norme L^1), conservée par le flot, sur la dynamique des solutions est maintenant bien comprise. Notamment, un argument de type viriel permet d'obtenir simplement l'explosion en temps fini de toutes solutions de masse surcritique, sans pour autant donner des informations sur cette dynamique. Je présenterai donc un résultat décrivant finement une dynamique stable pour des solutions de masse très légèrement surcritique. De plus, une stratégie similaire permet d'obtenir un théorème […]
L'effet papillon, cher aux médias, est le fait que certains systèmes (par exemple la météo) sont sensibles aux conditions initiales (une petite perturbation conduit rapidement à des trajectoires divergentes) et donc difficiles à prévoir. De manière étonnante, du point de vue mathématique, cette instabilité est plutôt un avantage : les systèmes les plus chaotiques (appelés uniformément hyperboliques) sont en un sens les mieux compris, et les plus prévisibles à long terme. J'expliquerai ce paradoxe apparent, en montrant comment des systèmes déterministes ont en fait beaucoup à voir avec les probabilités.
Les entrelacs aléatoires constituent un modèle microscopique pour la tracelaissée à des échelles de temps appropriées par des marches aléatoires surdes gros graphes qui sont localement transients. Les propriétéspercolatives des entrelacs ont été activement étudiées ces dernièresannées, et ont été utiles dans l'étude de phénomènes de déconnexion et defragmentation par des marches aléatoires.Les entrelacs aléatoires sont par ailleurs étroitement reliés à d'autresmodèles, tels le champ libre gaussien ou les boucles markoviennes, et lesméthodes développées dans l'étude de la percolation pour les entrelacs sesont aussi montrées pertinentes dans l'étude de la […]
Les entrelacs aléatoires constituent un modèle microscopique pour la tracelaissée à des échelles de temps appropriées par des marches aléatoires surdes gros graphes qui sont localement transients. Les propriétéspercolatives des entrelacs ont été activement étudiées ces dernièresannées, et ont été utiles dans l'étude de phénomènes de déconnexion et defragmentation par des marches aléatoires.Les entrelacs aléatoires sont par ailleurs étroitement reliés à d'autresmodèles, tels le champ libre gaussien ou les boucles markoviennes, et lesméthodes développées dans l'étude de la percolation pour les entrelacs sesont aussi montrées pertinentes dans l'étude de la […]
We consider valued fields of equicharacteristic zero equipped with a continuous derivation. This class of structures is rather diverse, including both monotone differential fields and asymptotic differential fields. (These terms will be defined.) Nevertheless, some results can be established uniformly for the entire class: algebraic extensions, construction of residue field extensions, the Equalizer Theorem, construction of immediate extensions, differential-henselianity. Next I will revisit Scanlon's thesis on the model theory of differential-henselian monotone differential fields with enough constants. Time permitting I will add some remarks on the case of asymptotic differential […]
Dans leur célèbre article de 1987, les physiciens Per Bak,Chao Tang et Kurt Wiesenfeld ont montré que certains systèmes complexes,composés d'un nombre important d'éléments en interaction dynamique,évoluent vers un état critique, sans intervention extérieure. Cephénomène, appelé criticalité auto-organisée (self-organized criticalityen anglais), peut être observé empiriquement ou simulé par ordinateur pourde nombreux modèles. Cependant leur analyse mathématique est très ardue.Même des modèles dont la définition est apparemment simple, comme lesmodèles décrivant la dynamique d'un tas de sable, ne sont pas bien comprismathématiquement. J'introduirai plus longuement cette notion dans la première partie […]
