The regularity of stable solutions to semilinear elliptic PDEs has been studied since the 1970's. It was initiated by a work of Crandall and Rabinowitz, motivated by the Gelfand problem in combustion theory. The theory experienced a revival in the mid-nineties after new progress made by Brezis and collaborators. I will present these developments, as well as a recent work, in collaboration with Figalli, Ros-Oton, and Serra, which finally establishes the regularity of stable solutions up to the optimal dimension 9. I will also describe a more recent paper of […]

Dans cet exposé, je présenterai le modèle tensoriel de Landau de Gennes pour les cristaux liquides nématiques dans le régime dit de Lyutsyukov faisant intervenir des applications à valeurs dans la sphère S4. Ce modèle décrit les configurations stables de cristaux liquides comme étant les minimiseurs d'une énergie de type Ginzburg-Landau dont le puit de potentiel est le plan projectif réel. Lorsque le domaine (3D) est une boule et la donnée de Dirichlet est à symétrie radiale (équivariante), on pourrait s'attendre à ce qu'un minimiseur soit également à symétrie radiale. […]

Cet exposé portera sur un travail en collaboration avec T. Duyckaerts, C. Kenig, et F. Merle sur l'équation des ondes semi-linéaire. La première partie expliquera comment les solutions de l'équation des ondes linéaire se concentrent en temps grand autour du cône d'onde, prenant alors une forme particulière dite auto-similaire. Cela nous amènera au concept de solutions non radiatives - celles qui concentrent leur énergie uniquement à l'intérieur d'un cône d'onde. Nous établirons alors l'existence et la classification de toutes ces solutions non-radiatives pour le problème non linéaire, en fonction de […]