La /quantité/ /imaginaire/ ou /impossible/ voit révélée sa forme canonique (1746-) et enfin trouvée sa prétendue /réalisation/ géométrique (1806-)
Durant la première moitié du 19e siècle, les géomètres mettent en ?uvre des procédures variées pour justifier l'utilisation d'éléments imaginaires en géométrie. Que les points imaginaires apparaissent pour étendre l'idée de corrélation comme Carnot, comme une conséquence du principe de continuité chez Poncelet, pour étendre la notion de points conjugués par rapport à deux autres ou comme points fixes de formes projectives, leur introduction est légitimée par une exigence de généralisation des résultats de la géométrie pure.
En 1752, d'Alembert inaugura une méthode de résolution des équations du mouvement d'un fluide incompressible bidimensionnel via l'introduction d'une fonction (holomorphe) de variable complexe. Cette méthode connut quelques beaux succès au 19e siècle et au début du 20e siècle, particulièrement dans le travail de Helmholtz sur les mouvements discontinus de fluides et dans le travail de Kutta sur les ailes d'avion. Dans certains cas, la situation physique suggéra de nouvelles mathématiques, dans d'autres la méthode mathématique permit d'introduire un concept physique nouveau.
A la fin du 19e siècle, le mathématicien américain Frank Morley découvrit (en cherchant tout autre chose) une propriété de la géométrie du triangle qui l'a rendu célèbre : les points d'intersections des trisectrices déterminent un triangle équilatéral... Nous essaierons de comprendre sa quête, sa démarche et ses méthodes, qui peuvent apparaître aujourd'hui comme fondatrices de l'utilisation des nombres complexes en géométrie plane.
La géométrie du 20e siècle se développe en s'interrogeant explicitement sur la nature, la spécificité, les limites de de validité de ses objets plus particulièrement sur leur caractérisation en référence aux grands partages disciplinaires: le cas est particulièrement frappant si l'on considère les relations de l'algébrique et de l'analytique complexe. Je présenterai quelques analyses portant sur les relations établies par la théorie géométrique elle-même entre les objets algébriques et les objets analytiques à travers le théorème fondateur de ce genre de réflexion, le théorème de Chow. Je resterai très près […]
On termine la preuve
On essaiera de montrer en quoi les fonctions de plusieurs variables complexes constituent un domaine d'harmonie originaire dans le développement métaphysique et conceptuellement fluide de la théorie des groupes continus de transformations.
1. L'algorithme de résolution des singularités en caractéristique zéro: Désingularisation des variétés algébriques ouanalytiques par itération des transformations quadratiques (éclatements).Comment trouver les centres d'éclatement, localement et globalement? 2. L'invariant de désingularisation comme outil de calcul:Son rôle dans la fonctorialité et comme outil effectif pourcalculer des formes normales locales des singularités. 3. Résolution à l'exception des singularités minimales: Application de l'invariant à une question de géométrie birationnelle soulevée parJanos Kollar: Peut-on trouver la plus petite classe de singularités Stelle que (1) S inclut toute singularit'e du type croisementsnormaux
Computational learning theory is concerned with the complexityof machine learning problems, for instance with the question ofhow many training examples are needed for a machine toidentify a concept in a given class of possible target concepts. This presentation focuses on the combinatorial structureof concept classes that can be learned from a small number ofexamples. When learning from randomly chosen examples, theVC-dimension is known to provide bounds on the numberof examples needed for learning. However, for previously studiedmodels of algorithmic teaching (i.e., learning from helpfulexamples), no such combinatorial parameters are […]
In this talk, I will revisit information complexity of black-box convex optimization, first studied in the seminal work of Nemirovski and Yudin, from the perspective of feedback information theory. These days, large-scale convex programming arises in a variety of applications, and it is important to refine our understanding of its fundamental limitations. The goal of black-box convex optimization is to minimize an unknown convex objective function from a given class over a compact, convex domain using an iterative scheme that generates approximate solutions by querying an oracle for local information […]
We study global behavior of the nonlinear Klein-Gordon equation with a focusing cubic power in three dimensions, in the energy space under the restriction of radial symmetry and an energy upper bound slightly above that of the ground state. We give a complete classification of the solutions into 9 non-empty sets according to whether they blow-up, scatter to 0, or scatter to the ground states, in the forward and backward time directions, and the splitting is given in terms of the stable and the unstable manifoldsof the ground states. This […]
We present a variational model for quasistatic evolutions of brittle cracks in hyperelastic bodies, in the context of finite elasticity.All existence results on this subject that can be found in the mathematical literature were obtained using energy densities with polynomial growth. This is not compatible with the standard assumption in finite elasticity that the strain energy diverges as the determinant of the deformation gradient tends to zero. On the contrary, we consider a wide class of energy densities satisfying this property
