Les propriétés métriques des cartes (graphes plongés dans des surfaces)aléatoires ont été beaucoup étudiées ces dernières années. Dans cetexposé, je présenterai une approche combinatoire à ces questions,exploitant des bijections entre les cartes et certains arbres étiquetés.Grâce à un phénomène inattendu d'intégrabilité discrète, il estpossible de compter exactement les cartes ayant deux ou trois pointsmarqués à distances prescrites, et plus encore. Je parlerai ensuite desapplications probabilistes à l'étude de la carte brownienne (obtenuecomme limite d'échelle des cartes planaires aléatoires) et des cartesplanaires uniformes infinies (obtenues comme limites locales). Si letemps le […]

Resume : Pour chaque entier $k geq 2$, on considère une suite d'arbres aléatoires construite récursivement : on part de l'arbre à une arête et deux noeuds (la racine et une feuille), puis on choisit à chaque étape une arête uniformément au hasard dans l'arbre pré-existant et on plante au milieu de l'arête sélectionnée $k-1$ nouvelles arêtes. Lorsque $k=2$, il s'agit de l'algorithme de Rémy, qui génère ainsi une suite d'arbres binaires, dont le $n$-ième terme est uniformément distribué dans l'ensemble des arbres binaires enracinés à $n$ feuilles numérotées. Il […]