Algèbre et géométrie

Soit X une variété de type général. On conjecture que le degré canonique deg(C) d'une courbe C générique sur X est majoré linéairement en son genre géométrique g(C). Cette inégalité deg(C)

Grauert et Manin ont montré qu'une famille non-isotriviale de courbes compactes hyperboliques n'a qu'un nombre fini de sections. Nous montrerons un analogue pour une famille nonbirationnellement isotriviale d'hypersurfaces de grand degré et de grande variabilité d'un espaceprojectif complexe : il existe un fermé strict de l'espace total qui contient l'image de toutes les sections.

On étend la définition des espaces homogènes sphériques et de leurs plongements au cas d'un corps quelconque. On montre qu'à un plongement d'un espace homogène sphérique fixé X, on peut associer un éventail colorié stable par le groupe de Galois. On présente des exemples où cette correpondance est parfaite.

Soit X une variété projective lisse sur in corps de nombres, fibrée au dessus d'une courbe C, à fibres géométriquement intègres. En supposant que les fibres d'un sous-ensemble hilbertien généralisé satisfont le principe de Hasse (resp. l'approximation faible) et la finitude du groupe de Tate-Schafarevitch de la jacobienne de C), on montre que l'obstruction de Brauer-Manin provenant de la courbe d'en bas est la seule au principe de Hasse (resp. à l'approximation faible) pour les zéros-cycles de degré 1 sur X.