Algèbre et géométrie

Dans ce travail en collaboration avec J.F. Voloch, on discute si l'obstruction de Brauer-Manin est l'unique obstruction au principe de Hasse pour les points entiers d'une courbe affine hyperbolique C.Dans le cas où C est rationnelle, on conjecture une réponse positive et on montre que cette conjecture admet plusieurs formulations équivalentes et on la relie à une conjecture de Skolem. Dans le cas d'une courbe elliptique épointée, on montre qu'une variante plus forte (i.e. avec des congruences locales) de la question admet une réponse négative.

Les courbes de Reichardt-Lind et de Schinzel sont des exemples classiques de courbes projectives et lisses sur Q possédant un point adélique mais pas de point rationnel. Je montrerai que leur groupe fondamental arithmétique n'admet pas de section au-dessus du groupe de Galois absolu de Q. Cela répond à une question de Stix et confirme, dans le cas de la courbe de Schinzel, la prédiction fournie par la conjecture des sections de Grothendieck.

Dans ce travail en commun avec Yuri Tschinkel, nous établissons une formule asymptotiquepour le nombre de points de hauteur bornée d'une variété torique.

J'explique l'approche de la gémométrie d'Arakelov dans les majorations uniformes des nombres de points rationnels de hauteurs bornées dans les variétés arithmétiques de degré et dimension fixés dans un espace projectif. Cette approche permet de trouver des majorations explicites, qui sont utiles dans l'étude des points de petite hauteur.

Notre résultat principal combine une conclusion de typeGrunwald-Wang pour les groupe arbitraires, une version effective duthéorème de Hilbert et le problème inverse de Galois (travail commun avecPierre Dèbes).

Les structures galoisiennes dont il est question ici décrivent lastructure de module sous-jacente à l'action d'un schéma en groupes(commutatif) fini et plat sur un schéma. Quand l'action est modérée(dans un sens que nous préciserons), le module obtenu est projectif.Nous montrerons comment l'utilisation des log schémas permet deréinterpréter certaines actions modérées en termes de torseurs pourla topologie log plate définie par Kato. Pour finir, nous donneronsdes applications à l'arithmétique des variétés abéliennes.

Je présenterai d'abord une brève introduction à la théorie de la dimension essentielle quiest une mesure de complexité des certaines structures algébriques, par exemple destorseurs d'un groupe algébrique. Je discuterai ensuite la dimension essentielle des torseurs d'un tore algébrique