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Algèbre et géométrie

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Aujourd'hui

NSOP_1, Kim-independence, and simplicity at a generic scale

Sophie Germain salle 1016

The class of NSOP_1 theories properly contains the simple theories and is contained in the class of theories without the tree property of the first kind. We will describe a notion of independence called Kim-independence, which corresponds to non-forking independence 'at a generic scale.' In an NSOP_1 theory, Kim-independence is symmetric and satisfies a version of Kim's lemma and the independence theorem. Moreover, these properties of Kim-independence individually characterize NSOP_1 theories. We will talk about what Kim-independence looks like in several concrete examples: parametrized equivalence relations, Frobenius fields, and vector […]

Wild ramification and K(pi,1) spaces

ENS Salle W

I will sketch the proof that every connected affine scheme in positivecharacteristic is a K(pi,1) space for the etale topology. The keytechnical ingredient is a ?RoeBertini-type?R statement regarding the wildramification of l-adic local systems on affine spaces. Its proof usesin an essential way recent advances in higher ramification theory dueto T. Saito.

Finite descent obstruction and non-abelian reciprocity.

ENS Salle W

For a nice algebraic variety X over a number field F, one of the central problems of Diophantine Geometry is to locate precisely the set X(F) inside X(A), where A denotes the ring of adèles of F. One approach to this problem is provided by the finite descent obstruction, which is defined to be the set of adelic points which can be lifted to twists of torsors for finite étale group schemes over F on X. More recently, Kim proposed an iterative construction of another subset of X(A) which contains […]

Actions localement quadratiques de groupes de Chevalley, et représentations minuscules

Sophie Germain salle 1016

Un très beau théorème de Timmesfeld caractérise, sans hypothèse sur K, la représentation naturelle de G = SL(2,K) parmi les Z-modules : c'est le seul Z-module irréductible V où les sous-groupes unipotents de G agissent `quadratiquement', i.e. = 0 (en itérant les commutateurs).Montrer ce théorème, c'est essentiellement savoir reconstruire sur un Z-module quadratique une structure de K-espace vectoriel compatible avec l'action de G.L'exposé présentera une généralisation de ce théorème aux autres groupes de Chevalley simples : si G est un tel groupe, et V un Z-module sur lequel chaque sous-groupe […]

Fields of definition and essential dimension in representation theory

ENS Salle W

A classical theorem of Brauer asserts that every finite-dimensional non-modular representation p of a finite group G defined over a field K, whose character takes values in a subfield k, descends to k, provided that k has suitable roots of unity. If k does not contain these roots of unity, it is natural to ask how far p is from being definable over k. The classical answer is given by the Schur index of p, which is the smallest degree of a finite field extension l/k such that p can […]

Groupe de Brauer invariant et obstruction de descente itérée

ENS Salle W

Pour une variété quasi-projective, lisse, géométriquement intègre sur un corps de nombre k, on montre que l'obstruction de descente itérée est équivalente à l'obstruction de descente. Ceci répond une question ouverte de Poonen. L'idée clé est la notion de sous-groupe de Brauer invariant et la notion d'obstruction de Brauer-Manin invariant étale pour une k-variété munie d'une action d'un groupe linéaire connexe.

Un théorème d’Ax-Lindemann non-archimédien

ENS Salle W

On présentera un résultat de type Ax-Lindemann pour les produits de courbes de Mumford sur un corps p-adique. Notre preuve reprend en l'adaptant les grandes lignes de l'approche de Pila dans le cas archimédien. En particulier nous utilisons un théorème de Pila-Wilkie p-adique obtenu avec R. Cluckers et G. Comte. Il s'agit d'un travail en commun avec A. Chambert-Loir.

Triangulation des ensembles semi-algébriques p-adiques

ENS Salle W

On sait que les ensembles semi-algébriques p-adiques admettent une décomposition cellulaire semblable à celle des semi-algébriques réels (Denef 1984). On sait aussi les classifier à bijection semi-algébrique près (Cluckers 2001), mais pas à homéomorphismes semi-algébriques près. En introduisant une notion appropriée de simplexe sur les corps p-adiquement clos, on peut montrer que tout ensemble semi-algébrique p-adique est semi-algébriquement homéomorphe à un complexe simplicial p-adique, exactement comme dans le cas réel clos. C'est ce résultat récent de `triangulation p-adique' que je tâcherai de présenter, avec ses applications les plus directes (existence […]

Séries linéaires limites et applications

ENS Salle W

Je présente un formalisme combinatoire pour l'étude des dégénérescences des séries linéaires dans une famille de courbes algébriques. J'en déduis quelques applications dont notamment l'équirépartition selon la mesure admissible de Zhang des points de ramification des fibrés en droite sur les courbes de Berkovich, un analogue non-archimédien du théorème de Mumford-Neeman. Je discuterai aussi la question de la convergence de la mesure d'Arakelov vers la mesure de Zhang dans une famille de surfaces de Riemann.

Théorèmes de relèvement et cohomologie des groupes profinis lisses.

ENS Salle W

La notion de groupe profini lisse permet d'axiomatiser les propriétés cohomologiques qui se déduisent du théorème de Hilbert 90 en cohomologie Galoisienne. L'objectif de cette introduction est de proposer une nouvelle approche effective à la conjecture de Bloch-Kato, démontrée par Rost, Suslin et Voevodsky. Un ingrédient clé est l'étude des puissances divisées de modules sur les vecteurs de Witt, munies des opérateurs Frobenius et Verschiebung. On présentera quelques résultats partiels et applications d'intérêt propres, notamment au relèvement des représentations Galoisiennes. Il s'agit d'un travail en cours avec Mathieu Florence.

On the classification of quadratic forms over an integral domain of a global function field.

ENS Salle W

Let C be a smooth projective curve defined over the finite field F_q (q is odd) and let K=F_q(C) be its function field. Any (non-empty) finite set S of closed points of C gives rise to an integral domain O_S := F_q in K. We show that given an O_S-regular quadratic space (V,q) of rank n ?oo 3, the set of genera in the proper classification of quadratic O_S-spaces isomorphic to (V,q) in the flat or étale topology, is in 1:1 correspondence with 2.Br(O_S), thus there are 2|S|-1 genera. Furthermore, […]