Algèbre et géométrie

It is a widely accepted philosophy that the arithmetic of a variety,say over a number field, is governed by its geometry. Indeed, weexpect many rational points, if any, on Del Pezzo surfaces, while onsurfaces of general type, we expect that the rational points are notdense. On K3 surfaces, as for Del Pezzo surfaces, we expect morerational points for higher Picard numbers: for high enough Picardnumber, rational points are potentially dense by a result of Tschinkeland Bogomolov. In this talk, I will highlight some results on thearithmetic of K3 surfaces. I […]

On conjecture que toute surface K3 sur un corps algébriquement closcontient une infinité de courbes rationnelles. En travaillant encaractéristique mixte, on montre que c'est le cas pour les surfaces K3complexes dont le rang de Picard est impair.

Soit k un corps, K une clôture séparable, G le groupe de Galois absolu. Pour X une variété projective et lisse sur k, le groupe de Brauer de X s'envoie dans les invariants sous G du groupe de Brauer de X_K. On étudie le quotient. S'il reste du temps, sur un corps de nombres, on discutera la structure de l'ensemble de Brauer-Manin des variétés dont le groupe de Picard géométrique est sans torsion. On considèrera en particulier le cas des surfaces quartiques diagonales. (Travaux en commun avec A. Skorobogatov, Imperial […]

Nous présenterons une formule qui décrit une partie du groupe de Brauer d'un espace homogène sur corps de caractéristique nulle grâce à un groupe d'hypercohomologie galoisienne d'un complexe explicite associé à l'espace homogène. Ce travail généralise des résultats antérieurs sur le groupe de Brauer algébrique, dus entre autres à Sansuc, Kottwitz et Borovoi-van Hamel. Contrairement à ces résultats, le sous-groupe du groupe de Brauer considéré ici contient en général des éléments transcendants,qui sont nécessaires pour étudier l'arithmétique des espaces homogènes. En particulier, dans le cas d'un corps de nombres, le […]

On expliquera comment la théorie triangulée des motifs de Voevodsky permet d'associer des foncteurs dérivés à la cohomologie non ramifiée, et on en calculera quelques uns. Il: s'agit d'un travail commun avec Sujatha.

Les groupes de cohomologie non ramifiée, dont on sait qu'ils sont desinvariants birationnels des variétés projectives et lisses sur un corps,apparaissent comme les termes E_2^0p de la suite spectrale de Bloch-Ogus.Sur un corps de dimension cohomologique d, on va établir l'invariancebirationnelle de quelques autres termes de cette suite spectrale. Sur uncorps fini, on relie un de ces invariants avec le conoyau de l'applicationclasse de cycles l-adique étale pour les 1-cycles.

La théorie de Bruhat-Tits permet de classifier les groupes réductifs sur un corps valué hensélien et partant sur un corps F de séries formelles itérées sur un corps k. Si G/F est un groupe réductif, nous montrerons que le groupe de classes de R-équivalence G(F)/Rest isomorphe à un groupe H(k)/R où H est un groupe algébrique linéaire. Cette technique de spécialisation, issue des exemples de Platonov de groupes spéciaux linéaires, permet de construire de nouveaux cas de variétés de groupes non rationnelles.

Let X be a projective variety over a global field k. Consider the set of projective varieties X' that become isomorphic to X over every completion of k. It is natural to wonder if the set of such X', taken up to k-isomorphism, is finite. Mazur proved such a finiteness result conditional on the Tate--Shafarevich conjecture when k is a number field and the component group of the automorphism scheme of X satisfies some group-theoretic finiteness properties. When k is a global function field, several new difficulties arise. We explain […]