Séminaire Analyse non linéaire et EDP

Essai

Il est connu depuis les travaux de Skorohod, Watanabee and McKeen qu'il y a un lien entre l'équation de Kolmogorov-Petrovsky-Piskunov (KPP) et les processus de diffusion branchants. Nous nous intéressons à une extension de cette représentation à des équations paraboliques semi-linéaires générales et nous explorons la méthode d'approximation de Monte Carlo associé. Nous appliquons aussi cette représentation à la simulation non-biaisée d'équations différentielles stochastiques, et aux extensions à des problèmes de Cauchy généraux.

Premier exposé : Contrôle d'équations différentiellesSecond exposé : Obstructions quadratiques à la contrôlabilité locale en temps petit des systèmes différentiels à commande scalaire

Dans la première partie de cet exposé je décrirai le modèle linéaire de Schrödinger permettant de modéliser les électrons quantiques au sein des atomes et molécules. Puis je présenterai ses approximations non linéaires, en particulier les modèles de Thomas-Fermi et Hartree-Fock, avant de discuter de leur validité dans certains régimes.Dans la seconde partie je parlerai d'un nouveau résultat concernant la construction de solutions non linéaires des équations Hartree-Fock par des techniques de type min-max.

Nous nous intéressons aux évolutions géométriques (dans R^n) qui peuvent être vues comme un flot de gradient du périmètre. Pour le périmètre classique, cela donne lieu au mouvement par courbure moyenne et ses variantes. Les méthodes classiques (level sets, solutions de viscosité) pour définir des solutions en temps long permettent de définir très facilement des évolutions uniques et se généralisent sans peine à des périmètres généraux (anisotropes, voire non locaux). Nous décrirons aussi l'approche naturelle <> de qui permet de construire les évolutions variationnelles.Dans l'exposé, nous expliquerons une approche pour […]

Nous nous intéressons à une classe d'équations intégro-différentielles paraboliques venant de la biologie évolutive. Ces équations décrivent la dynamique d'une population structurée par trait phénotypique sous l'effet des mutations et de la sélection. Les solutions de ces équations se concentrent, à la limite de petite diffusion (mutations) et en temps long, sous forme de masses de Dirac.Dans la première partie, nous présentons les ingrédients de base d'une approche basée sur des équations de Hamilton-Jacobi avec contrainte pour étudier ce type de problème.Dans la seconde partie, nous considérons un cadre plus […]

A venir

Le premier exposé présentera quelques modèles de matrices aléatoires, et quelques méthodes pour les étudier, notamment en grande dimension. L'accent sera mis en particulier sur des propriétés asymptotiques globales des spectres. Cet exposé est conçu pour être accessible au plus grand nombre.Le second exposé sera consacré à des modèles de gas de Coulomb, qui, en basse dimension, décrivent les spectres de modèles de matrices aléatoires. Nous présenterons des inégalités de concentration pour la mesure empirique, puis des propriétés dynamiques en liaison avec une équation d'évolution champ moyen.

On conjecture que les equations dispersives non-linéaires, dans un regimeturbulent faiblement non-lineaire, peuvent être décrites par une equationcinetique appelee l'equation des ondes cinetiques (kinetic wave equation).Je presenterai une derivation partielle de cette equation, dans le cas del'equation de Schrodinger non-linéaire posee sur un tore, rationnel ouirrationnel. Les propriétés spectrales du laplacien sur le tore conduisenta des questions intéressantes de théorie des nombres. Il s'agit d'untravail en collaboration avec T. Buckmaster, Z. Hani et J. Shatah.

Ces quinze dernières années, de nombreux progrès ont été faits dans la compréhension du spectre de Ruelle associé à un système dynamique de nature hyperbolique. Plus précisément, il s'agit de décrire les propriétés asymptotiques de certaines équations de transport linéaire associées à un champ de vecteurs vérifiant des propriétés d'hyperbolicité au sens des systèmes dynamiques.Dans une première partie, je présenterai ces problématiques ainsi que certains résultats marquants de ce domaine et le type d'outils analytiques mis en jeu (espaces de Sobolev anisotropes, etc.). Dans une seconde partie, je me focaliserai […]