Séminaire Analyse non linéaire et EDP

Les méthodes d'entropie permettent de prouver certaines inégalités fonctionnelles optimales grâce à des équations de diffusion, linéaires, ou non-linéaires. Connaître le taux de convergence optimal des solutions de l'équation d'évolution équivaut alors à connaître la constante optimale dans une inégalité fonctionnelle associée. Cela permet aussi de clarifier le rôle d'un problème spectral, associé à l'équation de diffusion en temps long, dans le régime non-linéaire et de montrer, par exemple, des résultats d'unicité dans des équations elliptiques non-linéaires, ou de symétrie pour des fonctions optimales. Les équations de diffusion ont de […]

Rayleigh-Bénard convection is the buoyancy-driven flow of a fluid heated from below and cooled from above and is a paradigm for nonlinear dynamics with important applications to meteorology, oceanography and engineering. We are interested in obtaining quantitative bounds on the Nusselt number, the vertical heat transport enhancement factor. The Nusselt number, besides being an interesting quantity for engineering applications, it is the natural quantity to measure the intensity and effectiveness of the motion. For this reason, we are interested in proving (upper) bounds which catch the relation between the Nusselt […]

We construct radial self-similar solutions of the, so called, minimal parabolic-elliptic Keller--Segel model in several space dimensions with radial, nonnegative initial conditions which are below the Chandrasekhar solution --- the singular stationary solution of this system.

On considère un système décrivant le mouvement d'un corps rigide et à l'intérieur d'un fluide remplissant le reste de l'espace tridimensionnel. Nous prouvons l'existence globale de solutions lorsque les données initiales sont petites. De plus, nous donnons une description précise de leur comportement en temps grand. Notre résultat principal affirme, en particulier, que si la donnée initiale est suffisamment petite dans des normes convenables alors la position du centre de la boule rigide converge vers un point à distance finie lorsque le temps tend à infini. Ce résultat contraste avec […]

On discutera le caractère localement bien posé pour une classe d’équations de Vlasov dégénérées (présentant une perte de dérivée au niveau du terme de force). On étudiera en particulier l’équation de Vlasov-Benney pour des données initiales vérifiant une condition de stabilité optimale.

L'exposé est reporté à l'année prochaine.

We study Euler solutions via novel function spaces constructed using sparseness and local approximations. In particular, we incorporate Tadmor's scale of regularity spaces (2001) to our framework and applying interpolation/extrapolation methods we give a new approach to convergence of approximate Euler solutions. This is joint work with Mario Milman.

Dans la première partie, nous allons rappeler la théorie de Cauchy pour l'équation de Schrödinger non linéaire sur des surfaces compactes développée par Bourgain et par Burq, Gérard et l'orateur. Ensuite, nous allons essayer de comprendre si cette théorie survie en présence d'un potentiel aléatoire de type bruit blanc. En utilisant une approche due à Hairer-Labbé, nous allons montrer que si la donnée initiale est bien préparée alors nous avons la régularité globale pour une non linéarité polynomiale arbitraire. Il s'agit d'un travail avec Nicola Visciglia.

The weak/strong uniqueness principle of Dafermos and Di Perna shows that Lipschitz solutions to Euler equations are stable and unique among weak entropic solutions. We provide generalizations of this principle for the stability or predictability of discontinuous patterns, such as shocks for the compressible Euler or shear flows for the incompressible Euler. For this study, we show that the notion of weak inviscid limit of Navier-Stokes solutions is better suited than the notion of weak solutions to Euler. Convex Integration shows that shear flows at the boundary for incompressible Euler […]

Cet exposé a pour but de donner un panorama de résultats sur les vortex dans le modèle de Ginzburg-Landau de la supraconductivité, des années 90 à nos jours. L'exposé introductif présentera les outils principaux utilisés pour analyser ces vortex.