Séminaire Analyse non linéaire et EDP

On considère un système décrivant le mouvement d'un corps rigide et à l'intérieur d'un fluide remplissant le reste de l'espace tridimensionnel. Nous prouvons l'existence globale de solutions lorsque les données initiales sont petites. De plus, nous donnons une description précise de leur comportement en temps grand. Notre résultat principal affirme, en particulier, que si la donnée initiale est suffisamment petite dans des normes convenables alors la position du centre de la boule rigide converge vers un point à distance finie lorsque le temps tend à infini. Ce résultat contraste avec […]

On discutera le caractère localement bien posé pour une classe d’équations de Vlasov dégénérées (présentant une perte de dérivée au niveau du terme de force). On étudiera en particulier l’équation de Vlasov-Benney pour des données initiales vérifiant une condition de stabilité optimale.

L'exposé est reporté à l'année prochaine.

We study Euler solutions via novel function spaces constructed using sparseness and local approximations. In particular, we incorporate Tadmor's scale of regularity spaces (2001) to our framework and applying interpolation/extrapolation methods we give a new approach to convergence of approximate Euler solutions. This is joint work with Mario Milman.

Dans la première partie, nous allons rappeler la théorie de Cauchy pour l'équation de Schrödinger non linéaire sur des surfaces compactes développée par Bourgain et par Burq, Gérard et l'orateur. Ensuite, nous allons essayer de comprendre si cette théorie survie en présence d'un potentiel aléatoire de type bruit blanc. En utilisant une approche due à Hairer-Labbé, nous allons montrer que si la donnée initiale est bien préparée alors nous avons la régularité globale pour une non linéarité polynomiale arbitraire. Il s'agit d'un travail avec Nicola Visciglia.

The weak/strong uniqueness principle of Dafermos and Di Perna shows that Lipschitz solutions to Euler equations are stable and unique among weak entropic solutions. We provide generalizations of this principle for the stability or predictability of discontinuous patterns, such as shocks for the compressible Euler or shear flows for the incompressible Euler. For this study, we show that the notion of weak inviscid limit of Navier-Stokes solutions is better suited than the notion of weak solutions to Euler. Convex Integration shows that shear flows at the boundary for incompressible Euler […]

Cet exposé a pour but de donner un panorama de résultats sur les vortex dans le modèle de Ginzburg-Landau de la supraconductivité, des années 90 à nos jours. L'exposé introductif présentera les outils principaux utilisés pour analyser ces vortex.

Durant la première partie, je parlerai des tourbillons concentrés pour les équations d'Euler 2D. J'exposerai les arguments principaux pour montrer la persistance de la concentration vers des points vérifiant le système des points vortex. Je finirai cette première partie par un calcul formel illustrant la principale différence pour les filaments en dimension 3 : le flot par courbure binormale. Dans la seconde partie, je présenterai les équations des lacs qui peuvent se voir comme une généralisation d'Euler 3D axisymétrique sans swirl. Je montrerai que les points vortex se déplacent selon […]

J’évoquerai la question de la contrôlabilité des équations de la mécanique des fluides incompressibles, notamment des équations d’Euler et de Navier-Stokes. Cette question consiste essentiellement à prouver la possibilité de modifier la dynamique du fluide, selon un objectif prescrit, par une action à distance. Une attention particulière sera portée aux rôles des nonlinéarités et des comportements multi-échelles, ainsi qu’à l’évaluation du coût du contrôle. Nous verrons les difficultés propres aux points de vue eulérien et lagrangien, celles associées aux couches limites, et comment des outils comme l’analyse micro-locale ou les […]

Lors de cet exposé, nous essaierons de faire le point sur des résultats mathématiques connus autour de fluides compressibles dans un cadre à faible régularité. Nous essaierons de parcourir un large spectre de systèmes issus de problématiques concrètes où lois de pression et tenseur des contraintes sont par exemple au centre des débats.

The regularity of stable solutions to semilinear elliptic PDEs has been studied since the 1970's. It was initiated by a work of Crandall and Rabinowitz, motivated by the Gelfand problem in combustion theory. The theory experienced a revival in the mid-nineties after new progress made by Brezis and collaborators. I will present these developments, as well as a recent work, in collaboration with Figalli, Ros-Oton, and Serra, which finally establishes the regularity of stable solutions up to the optimal dimension 9. I will also describe a more recent paper of […]