Séminaire Analyse non linéaire et EDP

Durant la première partie, je parlerai des tourbillons concentrés pour les équations d'Euler 2D. J'exposerai les arguments principaux pour montrer la persistance de la concentration vers des points vérifiant le système des points vortex. Je finirai cette première partie par un calcul formel illustrant la principale différence pour les filaments en dimension 3 : le flot par courbure binormale. Dans la seconde partie, je présenterai les équations des lacs qui peuvent se voir comme une généralisation d'Euler 3D axisymétrique sans swirl. Je montrerai que les points vortex se déplacent selon […]

J’évoquerai la question de la contrôlabilité des équations de la mécanique des fluides incompressibles, notamment des équations d’Euler et de Navier-Stokes. Cette question consiste essentiellement à prouver la possibilité de modifier la dynamique du fluide, selon un objectif prescrit, par une action à distance. Une attention particulière sera portée aux rôles des nonlinéarités et des comportements multi-échelles, ainsi qu’à l’évaluation du coût du contrôle. Nous verrons les difficultés propres aux points de vue eulérien et lagrangien, celles associées aux couches limites, et comment des outils comme l’analyse micro-locale ou les […]

Lors de cet exposé, nous essaierons de faire le point sur des résultats mathématiques connus autour de fluides compressibles dans un cadre à faible régularité. Nous essaierons de parcourir un large spectre de systèmes issus de problématiques concrètes où lois de pression et tenseur des contraintes sont par exemple au centre des débats.

The regularity of stable solutions to semilinear elliptic PDEs has been studied since the 1970's. It was initiated by a work of Crandall and Rabinowitz, motivated by the Gelfand problem in combustion theory. The theory experienced a revival in the mid-nineties after new progress made by Brezis and collaborators. I will present these developments, as well as a recent work, in collaboration with Figalli, Ros-Oton, and Serra, which finally establishes the regularity of stable solutions up to the optimal dimension 9. I will also describe a more recent paper of […]

Dans cet exposé, je présenterai le modèle tensoriel de Landau de Gennes pour les cristaux liquides nématiques dans le régime dit de Lyutsyukov faisant intervenir des applications à valeurs dans la sphère S4. Ce modèle décrit les configurations stables de cristaux liquides comme étant les minimiseurs d'une énergie de type Ginzburg-Landau dont le puit de potentiel est le plan projectif réel. Lorsque le domaine (3D) est une boule et la donnée de Dirichlet est à symétrie radiale (équivariante), on pourrait s'attendre à ce qu'un minimiseur soit également à symétrie radiale. […]

Cet exposé portera sur un travail en collaboration avec T. Duyckaerts, C. Kenig, et F. Merle sur l'équation des ondes semi-linéaire. La première partie expliquera comment les solutions de l'équation des ondes linéaire se concentrent en temps grand autour du cône d'onde, prenant alors une forme particulière dite auto-similaire. Cela nous amènera au concept de solutions non radiatives - celles qui concentrent leur énergie uniquement à l'intérieur d'un cône d'onde. Nous établirons alors l'existence et la classification de toutes ces solutions non-radiatives pour le problème non linéaire, en fonction de […]

Le chimiotactisme est un processus qui régit la motilité cellulaire, et qui plus généralement est omniprésent en biologie. Nous présentons une classe de systèmes d'équations aux dérivées partielles paraboliques provenant de la modélisation du chimiotactisme cellulaire avec détection locale, c'est-à-dire lorsque les cellules répondent à la concentration d'un signal chimique perçu localement (par opposition à la détection gradient, lorsque les cellules sont capables de percevoir un gradient de concentration). Nous présentons des outils de dualité et d'entropie pour analyser cette classe de système. En découlent des résultats sur leur caractère […]

Inégalités de Strichartz et phénomènes de scattering pour les équations de Schrödinger et de Gross-Pitaevskii: Dans ce mini-cours, on commencera par discuter des phénomènes de dispersion pour le laplacien. On expliquera la décroissance locale et ponctuelle des solutions de l'équation de Schrödinger linéaire avant d'expliciter la forme sous laquelle on exploite la dispersion dans les problèmes semi-linéaires, à savoir, les estimées de Strichartz. On montrera alors la stabilité asymptotique de la solution nulle par des méthodes de scattering pour l'équation de Schrödinger cubique ou quadratique pour des petites données initiales. […]

Mini-cours: Nous nous intéressons au lien entre l’équation de Boltzmann (élastique) et l’équation de Navier-Stokes incompressible. Nous ne traiterons que le cas de collisions de type sphères dures dans le tore. Dans un premier temps, nous présenterons l’équation de Boltzmann et ses principales caractéristiques. Nous donnerons également des estimations d’énergie sur l’équation de Boltzmann remise à l’échelle. Grâce à ces estimations, nous pourrons ensuite dériver l’équation de Navier-Stokes incompressible à partir de l’équation de Boltzmann (et prouver un résultat de convergence faible). Exposé: Dans la première partie de l’exposé, nous […]

We discuss the construction of a class of global, dynamical solutions to the 3d Euler equations near the stationary state given by uniform "rigid body" rotation. These solutions are axisymmetric, of Sobolev regularity and have non-vanishing swirl. At the heart of this result is a dispersive effect due to rotation, which we discuss with some context. In our approach, it is captured in a "method of partial symmetries", which is adapted to maximally exploit the symmetries of this anisotropic problem, both for the linear and nonlinear analysis, and allows to […]

Ce séminaire concerne les solutions radiales de l'équation des ondes non-linéaires focalisante en dehors d'une boule, en dimension 3 d'espace, avec conditions de Dirichlet au bord. Lorsque l'exposant dans la nonlinéarité est supérieur à 7, l'ensemble des solutions stationnaires radiales de l'équation est une suite, indexée par le nombre de zéro de la solution. Nous montrerons que toute solution radiale globale de l'équation s'écrit asymptotiquement comme la somme d'une de ces solutions stationnaires et d'une solution de l'équation des ondes linéaires, et que l'ensemble des données initiales conduisant à une […]

Pour les systèmes elliptiques, la symétrie des solutions est une question largement ouverte. Le but de l'exposé est de présenter deux systèmes de type Ginzburg-Landau où la symétrie (radiale ou unidimensionnelle) des solutions a lieu. D'abord, il s'agit d'un modèle variationnel pour des champs vecteurs N-dimensionnels à divergence nulle définis sur la bande RxT où T est le tore en dimension N-1. Dans ce système, nous montrons la symétrie unidimensionnelle des solutions minimisantes ; ceci est basée sur la théorie des calibrations, appelées aussi entropies en dimension N=2 (par leur […]