Séminaire Analyse non linéaire et EDP

Des résultats importants sur le comportement en temps long pour lessolutions des équations de Hamilton-Jacobi ont été obtenus au débutdes années 2000 par Namah & Roquejoffre et Fathi puis développés parde nombreux auteurs: Barles & Souganidis, Ishii, Davini & Siconolfi,...Il y a essentiellement deux approches pour montrer ces résultats:l'approche KAM faible/méthodes dynamiques/contrôle optimalet l'approche EDP. Je me concentrerai sur cette deuxième approchepour démontrer le théorème de Namah & Roquejoffre quidonne le comportement asymptotique en temps pour l'équation eikonale.Dans ce travail en collaboration avec Erwin Topp (Santiago)et Miguel Yangari (Quito), nous […]

La théorie de Krein-Rutman fournit la notion de valeur propre principale pour un opérateur dans un cadre abstrait. On rappellera la théorie classique à l'aide d'une approche basée sur la méthode du degré topologique, due à P. Rabinowitz. On présentera certaines extensions sous des hypothèses plus faibles sur l’opérateur, avec des applications à des problèmes elliptiques dans des domaines irréguliers.On montrera ensuite une approche différente qui donne l'existence de la valeur propre principale en se passant de l’hypothèse de compacité de l'opérateur. Ceci nous permettra de traiter des problèmes dans […]

Le transport optimal permet de définir des distances sur l?RTMensemble des mesures de probabilité boréliennes sur un espace euclidien. On sait depuis les travaux de R.L. Dobrushin (1979) queces distances sont d?RTMune grande utilité dans le contexte de la mécanique classique de systèmesformés d?RTMun grand nombre de particules identiques. On montrera dans cet exposé commentdéformer ces distances de transport optimal en fonction de la constante de Planck comme petitparamètre pour obtenir des fonctionnelles rendant des services analogues dans le contextede la mécanique statistique quantique. Les notions de dynamique quantique et […]

Après une introduction générale concernant le phénomène de formation de singularité en temps fini pour les EDP d?RTMévolution, je parlerai de travaux récents en collaboration avec Frank Merle, Pierre Raphaël et Igor Rodnianski, concernant l?RTMexplosion en temps fini pour l?RTMéquation d?RTMEuler compressible, de Navier-Stokes compressible, et pour l?RTMéquation de NLS défocalisant surcritique.

Dans la première partie, j’expliquerai le principe de quelques méthodes numériques pour l’approximation de certaines EDPs : méthodes volumes finis, méthodes de relaxation, méthodes well-balanced, méthodes asymptotic preserving.Dans la seconde partie, je décrirai différents modèles EDP pour le phénomène de chimiotactisme sur un intervalle, puis sur un réseau d’intervalles, auxquels j’appliquerai les méthodes numériquesprécédentes. Je présenterai les résultats numériques associés.

Depuis les travaux fondateurs de S. Kawashima dans sa thèse en 1987, on dispose d’une condition suffisante assez simple à vérifierassurant l’existence de solutions fortes globales proches d’un état constant stable pour les systèmes hyperboliques quasi-linéaires symétrisables comportanten plus un terme dissipatif ou diffusif de rang éventuellement non maximal.Ces résultats ont été revisités il y a quelques années par K. Beauchard et E. Zuazua, et une méthode systématique de construction d'une fonctionnelle de Lyapunov adéquate a été proposée, qui permet, au moins au niveau du linéarisé près d’un état constant, […]

Cet exposé est consacré à une série de papiers en collaboration avec Quoc-Hung Nguyen sur l'étude des solutions en régularité critique de l'équation de Muskat en dimension 2. Je décrirai notre principal résultat qui affirme que le problème de Cauchy est bien posé dans l'espace de Sobolev limite des fonctions de carré intégrable avec trois demi dérivée dans L^2 (localement en temps pour des données grandes et globalement pour des données suffisamment petites). Ce résultat est optimal en termes de remises à l'échelle de l'équation.

Lien d'accès : https://greenlight.lal.cloud.math.cnrs.fr/b/jul-zjy-etk ************************************************En cas de problème : https://bbb.dma.ens.fr/b/cyr-fpw-ctt**********************************************************Plusieurs modèles de mécanique des fluides font intervenir des problèmes de pénalisation singulière. Pour de tels modèles, en présence d'une paroi, on s'attend génériquement à ce que des couches limites se forment au voisinage de la paroi. Ce sont des zones de faible épaisseur, dans lesquelles la quantité observée possède de fortes variations.Dans cet exposé, je présenterai une méthodologie générale, formalisée par D. Gérard-Varet et T. Paul, pour construire des profils de couches limites et calculer leurs tailles dans des cas […]

Lien d'accès : https://greenlight.lal.cloud.math.cnrs.fr/b/jul-zjy-etk ************************************************En cas de problème : https://bbb.dma.ens.fr/b/cyr-fpw-ctt********************************************************La théorie des jeux à champ moyen a été introduite en 2006 par JM. Lasry et PL. Lions pour décrire des jeux différentiels (équilibres de Nash) dans la limite où le nombre de joueurs tend vers l'infini. Cette théorie a depuis connu un essor considérable. Elle constitue un point de rencontre de plusieurs domaines des mathématiques appliquées: théorie des jeux, contrôle optimal déterministe ou stochastique, calcul des variations, transport optimal, analyse des EDPs, méthodes numériques. Les applications sont nombreuses: économie, étude […]

Lien d'accès : https://greenlight.lal.cloud.math.cnrs.fr/b/jul-zjy-etk ************************************************En cas de problème : https://bbb.dma.ens.fr/b/cyr-fpw-ctt********************************************************La théorie classique de l'homogénéisation permet de déterminer les propriétés moyennes d'un milieu diffusif hétérogène en espace, tant que le coefficient de diffusion reste borné et minoré par une constante positive. Lorsque ce coefficient s'annule (inclusions isolantes dans un mileu conducteur), ou devient infini (suspension de particules solides dans un fluide visqueux), la dérivation d'un modèle effectif crée de nombreuses difficultés nouvelles, en particulier lorsque le milieu est aléatoire. Après une présentation générale de cette problématique, nous décrirons brièvement des travaux […]

Les méthodes d'entropie permettent de prouver certaines inégalités fonctionnelles optimales grâce à des équations de diffusion, linéaires, ou non-linéaires. Connaître le taux de convergence optimal des solutions de l'équation d'évolution équivaut alors à connaître la constante optimale dans une inégalité fonctionnelle associée. Cela permet aussi de clarifier le rôle d'un problème spectral, associé à l'équation de diffusion en temps long, dans le régime non-linéaire et de montrer, par exemple, des résultats d'unicité dans des équations elliptiques non-linéaires, ou de symétrie pour des fonctions optimales. Les équations de diffusion ont de […]