Séminaire Analyse non linéaire et EDP

Dans un article célèbre de 1937, Kolmogorov, Petrovskii et Piskunov démontrent, pour une équation de réaction-diffusion apparemment très simple, introduite par Fisher comme un modèle de dynamique des populations, la convergence de la solution issue de la fonction de Heaviside vers une solution d'onde progressive. Cette convergence a lieu dans un repère suivant celui de l'onde, modulo unecorrection sous-linéaire en temps. Ils ne précisent pas si ce shift tend vers une constante ou si un comportement moins trivial a lieu. Les équations similaires à celles étudiées par Kolmogorov, Petrovskii et […]

Résumé : Le calcul paracontrollé est une théorie très récente, développée par Gubinelli-Imkeller-Perkowski pour l'étude d'EDP singulières / stochastiques. Cette approche, parallèle à celle de Hairer ('structures de régularité') est basée sur une décomposition à l'aide de paraproduits afin d'isoler exactement les termes singuliers. Dans une première partie, je présenterai tout d'abord les bases / prérequis sur les paraproduits et leur continuités dans les espaces de Hölder. Ceci nous permettra de comprendre la problèmatique et les difficultés apparaissant dans l'equation prototype: modèle parabolique d'Anderson (PAM) en dimension 2. Nous verrons […]

Les méthodes entropiques, d'inégalités fonctionnelles (de Sobolev, Sobolev logarithimiques) et de transport optimal sont adaptées à l'étude d'équations de dérive-dffusion, de type Fokker-Planck : elles permettent en particulier d'en mieux saisir la dynamique, notamment en temps petit et grand. On en présentera les résultats classiques, dûs notamment à D. Bakry, Y. Brenier, M. Emery, M. Ledoux, F. Otto, et des apports récents, obtenus avec I. Gentil et A. Guillin.

Pour décrire le comportement d'un fluide visqueux incompressible transportant des particules solides,il est nécessaire d'avoir recours à différentes approches selon la concentration de la phase solide.Dans un cadre suffisamment dilué, mais où le nombre des particules est trop élevé pour qu'une descriptionindividuelle soit pertinente, une de ces approches consiste à coupler une équation de type Stokes ou Navier-Stokes pourle fluide avec une équation de Vlasov pour la phase solide. Une question est alors de calculer les termes de couplageà ajouter entre ces deux équations de façon à prendre en compte […]

Dans une première partie, on présente les opérateurs de Boltzmann et de Landau issus de la théorie cinétique des gaz et de la théorie des plasmas collisionnels. On explique la structure entropique de ces opérateurs (théorème H de Boltzmann), et on introduit les conjectures de Cercignani, et leur preuve dans certains cas particuliers (travaux de Toscani-Villani, LD-Villani et Villani). Ces conjectures peuvent être vues comme une version quantitative du théorème H de Boltzmann, et permettent de donner des estimations explicites de convergence vers l'équilibre thermodynamique pour un gaz homogène. La […]

Le but de cet exposé sera d'étudier la convergence du système de Vlasov-Poisson vers l'équation d'Euler incompressible en dimension deux, dans un certain régime asymptotique appelé limite gyro-cinétique.La première partie comprendra une introduction aux deux équations considérées : principales propriétés, formulation lagrangienne, problème de Cauchy. On présentera aussi un panorama des différents régimes asymptotiques pour le système de Vlasov-Poisson et un état de l'art des résultats les concernant.Dans la deuxième partie, on énoncera les résultats de façon plus précise et on donnera un aperçu des démonstrations. Plus précisément, on montrera […]

On s'intéresse au comportement en temps long des solutions des systèmes hamiltoniens et notamment aux phénomènes de turbulence. Les seuls modèles dans lesquels il est possible de décrire de telsphénomènes à ce jour sont ceux pour lesquels des calculs explicites sont possibles. Ici, on décrira un modèle simple d'équation pour lequel on a construit une transformation de Fourier non linéaire donnant une expression explicite des solutions. Cette résolution explicite nous permet de mettre en évidence de la turbulence: une petite perturbation des données initiales peut faire apparaître en temps long […]

Essai

Il est connu depuis les travaux de Skorohod, Watanabee and McKeen qu'il y a un lien entre l'équation de Kolmogorov-Petrovsky-Piskunov (KPP) et les processus de diffusion branchants. Nous nous intéressons à une extension de cette représentation à des équations paraboliques semi-linéaires générales et nous explorons la méthode d'approximation de Monte Carlo associé. Nous appliquons aussi cette représentation à la simulation non-biaisée d'équations différentielles stochastiques, et aux extensions à des problèmes de Cauchy généraux.

Premier exposé : Contrôle d'équations différentiellesSecond exposé : Obstructions quadratiques à la contrôlabilité locale en temps petit des systèmes différentiels à commande scalaire

Dans la première partie de cet exposé je décrirai le modèle linéaire de Schrödinger permettant de modéliser les électrons quantiques au sein des atomes et molécules. Puis je présenterai ses approximations non linéaires, en particulier les modèles de Thomas-Fermi et Hartree-Fock, avant de discuter de leur validité dans certains régimes.Dans la seconde partie je parlerai d'un nouveau résultat concernant la construction de solutions non linéaires des équations Hartree-Fock par des techniques de type min-max.

Nous nous intéressons aux évolutions géométriques (dans R^n) qui peuvent être vues comme un flot de gradient du périmètre. Pour le périmètre classique, cela donne lieu au mouvement par courbure moyenne et ses variantes. Les méthodes classiques (level sets, solutions de viscosité) pour définir des solutions en temps long permettent de définir très facilement des évolutions uniques et se généralisent sans peine à des périmètres généraux (anisotropes, voire non locaux). Nous décrirons aussi l'approche naturelle <> de qui permet de construire les évolutions variationnelles.Dans l'exposé, nous expliquerons une approche pour […]