Séminaire Analyse non linéaire et EDP

At the beginning of the 1990s, DiPerna and Lions made a deep study on the connection between transport equations and ordinary differential equations. In particular, by proving existence and uniqueness of bounded solutions for transport equations with Sobolev vector-fields, they obtained (roughly speaking) existence and uniqueness of solutions for ODEs for a.e. initial condition. Ten years later, Ambrosio extended this result to BV vector fields, providing also a new axiomatization of the theory of flows, more based on probabilistic tools. In recent years, several new extensions have been obtained, that […]

La théorie mathématique quantitative des limites de champ moyen pour les limites de systèmes à grand nombre de particules démarre dans les années 1970 avec, notamment, les travaux fondateurs de Dobrushin, Braun et Hepp sur la dérivation des équations de Vlasov. Nous en expliquerons les idées essentielles, mais aussi les limitations. Ces méthodes en particulier reposent sur le fait que la mesure empirique du système de particule vérifie l?RTMéquation aux dérivées partielles non-linéaire de champ moyen, i.e. l?RTMéquation effective obtenue à la limite, ce qui permet de réduire la question […]

La dynamique d'un électron dans un crystal en présence d'impuretés est décrite par une fonction d'onde, solution d'une équation de Schrödinger semi-classique. La théorie de la masse effective consiste à montrer que, sous des conditions adéquates sur la donnée initiale, la fonction d'onde peut être approchée dans la limite semi-classique par la solution d'une équation plus simple, l'équation de masse effective qui ne dépend pas du paramètre semi-classique. Il est classique en physique des solides d'utiliser la décomposition de Floquet-Bloch et c'est dans ce cadre que se situe le travail […]

Dans un article célèbre de 1937, Kolmogorov, Petrovskii et Piskunov démontrent, pour une équation de réaction-diffusion apparemment très simple, introduite par Fisher comme un modèle de dynamique des populations, la convergence de la solution issue de la fonction de Heaviside vers une solution d'onde progressive. Cette convergence a lieu dans un repère suivant celui de l'onde, modulo unecorrection sous-linéaire en temps. Ils ne précisent pas si ce shift tend vers une constante ou si un comportement moins trivial a lieu. Les équations similaires à celles étudiées par Kolmogorov, Petrovskii et […]

Résumé : Le calcul paracontrollé est une théorie très récente, développée par Gubinelli-Imkeller-Perkowski pour l'étude d'EDP singulières / stochastiques. Cette approche, parallèle à celle de Hairer ('structures de régularité') est basée sur une décomposition à l'aide de paraproduits afin d'isoler exactement les termes singuliers. Dans une première partie, je présenterai tout d'abord les bases / prérequis sur les paraproduits et leur continuités dans les espaces de Hölder. Ceci nous permettra de comprendre la problèmatique et les difficultés apparaissant dans l'equation prototype: modèle parabolique d'Anderson (PAM) en dimension 2. Nous verrons […]

Les méthodes entropiques, d'inégalités fonctionnelles (de Sobolev, Sobolev logarithimiques) et de transport optimal sont adaptées à l'étude d'équations de dérive-dffusion, de type Fokker-Planck : elles permettent en particulier d'en mieux saisir la dynamique, notamment en temps petit et grand. On en présentera les résultats classiques, dûs notamment à D. Bakry, Y. Brenier, M. Emery, M. Ledoux, F. Otto, et des apports récents, obtenus avec I. Gentil et A. Guillin.