Séminaire Analyse non linéaire et EDP

On considère le système de Zakharov dans R3. Ce dernier décrit la propagationdes ondes de Langmuir dans un plasma faiblement magnétisé. Desarguments heuristiques et des simulations numériques ont montré que les solutionspeuvent devenir singulières au bout d?RTMun temps fini pour des donnéesinitiales assez ?R~grandes?RTM.Dans ce travail, on suppose que la solution explose en temps fini et onétablit une bonne inférieure pour le taux d?RTMexplosion de certaines normes deSobolev de la solution. L?RTManalyse est basée sur la théorie d?RTMexistence localede Ginibre-Tsutsumi-Velo (1997) et un argument de contradiction développépar Cazenave-Weissler (1990) dans […]

We discuss relations between one-dimensional inviscid and viscous stability/bifurcation of shock waves in continuum-mechanical systems and existence of a convex entropy. In particular, we show that the equations of gas dynamics admit equations of state satisfying all of the usual assumptions of an ideal gas, along with thermodynamic stability- i.e., existence of a convex entropy- yet for which there occur unstable inviscid shock waves. For general 3í3 systems (but not up to now gas dynamics), we give numerical evidence showing that viscous shocks can exhibit Hopf bifurcation to pulsating shock […]

L'équation de Korteweg-de Vries a été historiquement développée dans le cadre de la propagation d'ondes de gravité à la surface d'un canal. Pourtant, sa justification complète et rigoureuse dans ce contexte n'est que très récente. On verra comment la méthode développée dans ce but s'étend au cas d'ondes internes, se propageant à l'interface entre deux couches de fluides homogènes et immiscibles. On verra aussi que le cas bi-couche comporte quelques spécificités, qui motivent et justifient une étude plus générale, et notamment l'examen de modèles asymptotiques d'ordre plus élevé.

Le but de cet exposé est de donner quelques idées sur la démonstration de la stabilité dans l'espace d'énergie des structures très particulières du type 'breathers', qui sont des solutions de l'équation KdV modifiée et sine-Gordon dans la droite. Il s'agit d'un travail en collaboration avec M.A. Alejo.

Le système parabolique-elliptique de Patlak Keller Segel a été largement étudié ces vingt dernières années, et l'influence de la masse (norme L^1), conservée par le flot, sur la dynamique des solutions est maintenant bien comprise. Notamment, un argument de type viriel permet d'obtenir simplement l'explosion en temps fini de toutes solutions de masse surcritique, sans pour autant donner des informations sur cette dynamique. Je présenterai donc un résultat décrivant finement une dynamique stable pour des solutions de masse très légèrement surcritique. De plus, une stratégie similaire permet d'obtenir un théorème […]

We study conformal invariants that arise from nodal sets and negative eigenvalues of conformally covariant operators, which include the Yamabe and Paneitz operators. We give several applications to curvature prescription problems. We establish a version in conformal geometry of Courantïs Nodal Domain Theorem. We also show that on any manifold of dimension n >= 3, there exist many metrics for which our invariants are nontrivial. We prove that the Yamabe operator can have an arbitrarily large number of negative eigenvalues on any manifold of dimension n >= 3. This is […]

La théorie de Kolmogorov contenue dans ses 3 célèbres articles écrits en 1941 (K41) est le modèle de base pour la turbulence. Cependant, les prédictions dans K41 ou dans les corrections à celui-ci n'ont pas pu tre confirmées ou infirmées analytiquement, du fait de lïimmense complexité du problème. Ici, nous regardons modèle simplifié le plus connu pour l'équation de Navier-Stokes 3D : l'équation de Burgers (stochastique). Pour ce modèle, nous estimons de faon exacte les quantités statistiques à petite échelle (spectre, fonctions de structure) analogues à celles de la théorie […]