ANNÉE 2015-2016

 Les techniques d’imagerie classiques utilisent des ondes pour sonder un milieu inconnu. Ces ondes sont émises par des réseaux de sources et après propagation dans le milieu elles sont enregistrées par des réseaux de récepteurs. On peut mettre en place différentes modalités d'émission et réception d’ondes suivant les applications : contrôle non-destructif, imagerie médicale (échographie ultrasonore, etc), séismologie. Récemment, la possibilité d’utiliser des sources incontrôlées de bruit ambiant au lieu de sources actives contrôlées a attiré l’attention des chercheurs, en mathématiques pour des raisons théoriques profondes car l'idée qu'on puisse utiliser […]

 En utilisant un billard dans un plan avec des obstacles polygonaux périodiques comme exemple, je vais essayer de raconter le contexte et le contenu de la récente avancée majeure dans la dynamique dans les espaces de modules.

 La réponse à cette question est négative si l'on utilise les notions naïves de coefficient et de taille. L'exposé consistera à expliquer comment construire des notions plus complexes qui permettent de donner une réponse positive. Le polygone de Newton est le personnage le plus important de cette histoire.

 On commencera par évoquer quelques théorèmes de points fixes. Malgré leur simplicité, ils s’avèrent très utiles dans des domaines modernes de la recherche mathématiques comme la théorie KAM faible. On expliquera leur utilité et quelques conséquences dans cette théorie.

 La «sphère» de Poincaré est un espace à trois dimensions qui n'est pas une hypersphère (ou sphère de dimension 3) mais qui partage avec celle-ci beaucoup de propriétés «topologiques». C'est un objet fascinant. Certains physiciens pensent même qu'elle prêterait sa forme à l'univers :) J'essaierai de vous en dévoiler quelques mystères. Il y aura beaucoup d'images et de films de Jos Leys. 

La géométrie énumérative est la branche des mathématiques dont l'objectif est de répondre à des questions du type: Combien de droites passent par 2 points dans le plan (facile)? Combien de coniques passent par 5 points dans le plan (facile)? Combien de cubiques avec un point double passent par 8 points dans le plan (moins facile)?Si l'on compte les courbes définies sur le corps C, alors ce nombre de courbes ne dépend pas de la configuration de points choisie, tout comme le nombre de racines complexes d'un polynôme en une […]

De façon empirique, nous parvenons à faire beaucoup de choses avec plus ou moins d’efficacité et de réussite. Quand il s’agit de faire un créneau, les conséquences peuvent parfois être risibles... Mais quand il s’agit de propulser une fusée ou de planifier des missions interplanétaires, il vaut mieux ne pas rater son coup.La théorie du contrôle est une branche des mathématiques qui permet de contrôler, d'optimiser et de guider des systèmes sur lesquels on a une action, comme par exemple une voiture, un robot, une navette spatiale, une réaction chimique, […]

Lorsque l’on compose deux polynômes d’une variable, le degré du polynôme obtenu est égal au produit des degrés des deux polynômes initiaux. Considérons maintenant un problème qui fait intervenir plusieurs variables. On se donne une transformation f de l’espace affine de dimension n dans lui même qui est définie par des formules polynomiales. Par compositions successives, nous obtenons une suite de transformations polynomiales : f, f^2=f circ f, f^3=f circ f circ f, …, f^k. Que dire du degré des formules qui définissent f^k lorsque k varie ? Nous verrons que derrière cette question simple se cachent des […]

J'expliquerai d'abord comment discrétiser l'équation ordinaire x'(t)=-DF(x(t)) (dite flot de gradient) en exploitant sa structure gradient, et comment cela peut permettre d'étudier cette équation dans le cas où x(t) vit dans un espace métrique (et pas dans R^n) et/ou F n'est pas différentiable (ou sa différentiabilité n'a pas de sens). Ensuite, j'analyserai le cas d'un espace métrique particulier, l'espace des mesures de probabilité sur un domaine donné, muni de la distance induite par le transport optimal. Les équations d'évolutions dans cet espace deviennent des EDP sur une densité dépendant de […]

Le fast marching est un algorithme efficace pour la résolution de l'équation eikonale, qui permet de calculer le plus court chemin entre deux points d'un domaine de R^d. Ses applications sont nombreuses, et vont de la planification de mouvement à la segmentation d'images médicales. L'unité de longueur, pour la mesure du chemin, peut varier dans le domaine. Motivés par certaines applications, nous généralisons l'algorithme au cas où l'unité de longueur dépend également de la direction, voire de l'orientation du chemin. Un conflit apparait entre cette géométrie anisotrope et la grille […]

Soit K un sous-corps de C, que l'on suppose de dimension finie sur Q. La norme N(x) d'un élément de K est définie comme le déterminant de la multiplication par x dans le Q-espace vectoriel K. On s'intéresse dans cet exposé au sous-groupe N(K*) du groupe multiplicatif Q*. On expliquera comment dans certaines situations on peut détecter si un élément de Q* appartient à N(K*). On verra aussi que le quotient Q*/N(K*) est toujours infini, mais que la preuve de ce résultat nécessite des outils sophistiqués aussi bien de théorie […]

Les problèmes de raisonnement inductif ou d'extrapolation comme deviner la suite d'une série de nombres, ou plus généralement, comprendre la structure cachée dans des observations, sont fondamentaux si l'on veutun jour construire une intelligence artificielle. On a parfois l'impression que ces problèmes ne sont pas mathématiquement bien définis. Or il existe une théorie mathématique rigoureuse du raisonnement inductif et de l'extrapolation, basée sur la théorie de l'information. Cettethéorie est très élégante, mais difficile à appliquer.En pratique aujourd'hui, ce sont les réseaux de neurones qui donnent les meilleurs résultats sur toute une série de problèmes concrets d'induction et […]