Séminaire Des mathématiques

Lorsque l’on compose deux polynômes d’une variable, le degré du polynôme obtenu est égal au produit des degrés des deux polynômes initiaux. Considérons maintenant un problème qui fait intervenir plusieurs variables. On se donne une transformation f de l’espace affine de dimension n dans lui même qui est définie par des formules polynomiales. Par compositions successives, nous obtenons une suite de transformations polynomiales : f, f^2=f circ f, f^3=f circ f circ f, …, f^k. Que dire du degré des formules qui définissent f^k lorsque k varie ? Nous verrons que derrière cette question simple se cachent des […]

J'expliquerai d'abord comment discrétiser l'équation ordinaire x'(t)=-DF(x(t)) (dite flot de gradient) en exploitant sa structure gradient, et comment cela peut permettre d'étudier cette équation dans le cas où x(t) vit dans un espace métrique (et pas dans R^n) et/ou F n'est pas différentiable (ou sa différentiabilité n'a pas de sens). Ensuite, j'analyserai le cas d'un espace métrique particulier, l'espace des mesures de probabilité sur un domaine donné, muni de la distance induite par le transport optimal. Les équations d'évolutions dans cet espace deviennent des EDP sur une densité dépendant de […]

Le fast marching est un algorithme efficace pour la résolution de l'équation eikonale, qui permet de calculer le plus court chemin entre deux points d'un domaine de R^d. Ses applications sont nombreuses, et vont de la planification de mouvement à la segmentation d'images médicales. L'unité de longueur, pour la mesure du chemin, peut varier dans le domaine. Motivés par certaines applications, nous généralisons l'algorithme au cas où l'unité de longueur dépend également de la direction, voire de l'orientation du chemin. Un conflit apparait entre cette géométrie anisotrope et la grille […]

Soit K un sous-corps de C, que l'on suppose de dimension finie sur Q. La norme N(x) d'un élément de K est définie comme le déterminant de la multiplication par x dans le Q-espace vectoriel K. On s'intéresse dans cet exposé au sous-groupe N(K*) du groupe multiplicatif Q*. On expliquera comment dans certaines situations on peut détecter si un élément de Q* appartient à N(K*). On verra aussi que le quotient Q*/N(K*) est toujours infini, mais que la preuve de ce résultat nécessite des outils sophistiqués aussi bien de théorie […]

Les problèmes de raisonnement inductif ou d'extrapolation comme deviner la suite d'une série de nombres, ou plus généralement, comprendre la structure cachée dans des observations, sont fondamentaux si l'on veutun jour construire une intelligence artificielle. On a parfois l'impression que ces problèmes ne sont pas mathématiquement bien définis. Or il existe une théorie mathématique rigoureuse du raisonnement inductif et de l'extrapolation, basée sur la théorie de l'information. Cettethéorie est très élégante, mais difficile à appliquer.En pratique aujourd'hui, ce sont les réseaux de neurones qui donnent les meilleurs résultats sur toute une série de problèmes concrets d'induction et […]

La mesure de Mahler d'un polynôme est sa moyenne géométrique sur le cercle unité. Cette quantité intervient naturellement dans des problèmes asymptotiques en théorie des nombres et en topologie. A partir de deux variables elle est très difficile à calculer, cependant j'expliquerai que le calcul est possible dans certains cas où le polynôme est associé à un noeud, c'est à dire une courbe fermée plongée dans R^3. Avec un peu de chance, cette mesure devient une quantité géométrique: le volume hyperbolique du noeud. 

Le flot géodésique, sur une surface de l'espace par exemple, c'est le mouvement d'une particule seulement assujettie à glisser sur la surface. L'étude du flot géodésique, qui relève de la géométrie, à donné ses plus belles pages à la théorie des systèmes dynamiques. Ça dure depuis un siècle, et ça continue.

Les technologies modernes de génomique permettent de caractériser chaque échantillon biologique au niveau moléculaire, générant de grandes quantités de données. L’analyse statistique de ces données peut permettre de trouver des corrélations entre des caractéristiques biologiques des patients et, par exemple, la réponse à certains traitements, ouvrant la voie à la médecine dite « de précision » qui optimiserait les choix thérapeutiques en fonction du génome et des particularités de chaque individu. La détection de corrélations prédictives pose cependant des problèmes mathématiques et informatiques, puisqu’on a affaire à des données de […]

Nous présenterons les fluides vitreux mous et quelques caractéristiques comme transition vitreuse et vieillissement. Nous expliquerons comment ces phénomènes peuvent être apparentés a des couches limites mathématiques spatiales ou temporelles sur un modèle proposé en physique.

 Dans cet exposé, nous partirons à la découverte d'un modèle classique de physique statistique décrivant le comportement de polymères dans un solvant. Nous parlerons en particulier des liens profonds que ces modèles entretiennent avec la physique théorique et les autres branches des mathématiques.

L’observation à un instant T du mouvement brownien d’un nuage de points indistinguables dont on connaît la position initiale conduit naturellement au problème de transport optimal de Monge, comme on le comprend dorénavant bien à la suite d’un article de Schrödinger datant des années 30. En poussant un peu plus loin l’analyse, à l’aide du principe de grandes déviations et de techniques de calcul des variations, on arrive à un système dynamique de particules liée au groupe symétrique, dont on peut ensuite dériver par analyse asymptotique le modèle de gravitation […]

Le but de l'exposé est de présenter le problème de Cauchy pour les équations principales de la relativité générale, les équations d'Einstein. Nous commencerons par une introduction à la géométrie Lorentzienne et aux équations d'Einstein puis nous présenterons quelques résultats classiques sur le sujet. Nous terminerons l'exposé par l'énoncé de quelques conjectures importantes du domaine.