Séminaire Des mathématiques

La gravité de Liouville 2d est une théorie continue des surfaces aléatoires introduite par le physicien Polyakov en 1981. Cette théorie peut être vue comme l'analogue bidimensionnel de l'intégrale de chemin (unidimensionnelle) de Feynman introduite dans le cadre de la mécanique quantique. Récemment cette théorie a connu un développement important dans le cadre de la théorie des probabilités et j'essaierai d'expliquer dans cet exposé les enjeux associés: lien conjecturel entre cette théorie et les grandes cartes planaires (gravité discrète), lien entre la théorie et l'uniformisation classique des surfaces de Riemann […]

 Cet exposé abordera la formalisation mathématique de la notion d'auto-organisation en biologie à travers un problème ancien : la propagation d'ondes de concentration de bactéries Escherichia coli en milieu liquide . Je présenterai différents niveaux de modélisation au moyen d'équations aux dérivées partielles, et les problèmes mathématiques associés. Je ferai l'esquisse de résultats mathématiques aux différentes échelles, qui font appel à des théories mathématiques récentes et variées.

 Étant donné un arbre plan dont les sommets sont coloriés en deux couleurs il existe un (presque) unique polynôme P tel que cet arbre soit l'antécédent par P du segment . Les coeffcients de ce polynôme sont des nombres algébriques, ce qui permet de définir une action du groupe de Galois de Qbar/Q sur les arbres. Nous parlerons de cette action, de ses orbites et de ses invariants.

 Les techniques d’imagerie classiques utilisent des ondes pour sonder un milieu inconnu. Ces ondes sont émises par des réseaux de sources et après propagation dans le milieu elles sont enregistrées par des réseaux de récepteurs. On peut mettre en place différentes modalités d'émission et réception d’ondes suivant les applications : contrôle non-destructif, imagerie médicale (échographie ultrasonore, etc), séismologie. Récemment, la possibilité d’utiliser des sources incontrôlées de bruit ambiant au lieu de sources actives contrôlées a attiré l’attention des chercheurs, en mathématiques pour des raisons théoriques profondes car l'idée qu'on puisse utiliser […]

 En utilisant un billard dans un plan avec des obstacles polygonaux périodiques comme exemple, je vais essayer de raconter le contexte et le contenu de la récente avancée majeure dans la dynamique dans les espaces de modules.

 La réponse à cette question est négative si l'on utilise les notions naïves de coefficient et de taille. L'exposé consistera à expliquer comment construire des notions plus complexes qui permettent de donner une réponse positive. Le polygone de Newton est le personnage le plus important de cette histoire.

 On commencera par évoquer quelques théorèmes de points fixes. Malgré leur simplicité, ils s’avèrent très utiles dans des domaines modernes de la recherche mathématiques comme la théorie KAM faible. On expliquera leur utilité et quelques conséquences dans cette théorie.

 La «sphère» de Poincaré est un espace à trois dimensions qui n'est pas une hypersphère (ou sphère de dimension 3) mais qui partage avec celle-ci beaucoup de propriétés «topologiques». C'est un objet fascinant. Certains physiciens pensent même qu'elle prêterait sa forme à l'univers :) J'essaierai de vous en dévoiler quelques mystères. Il y aura beaucoup d'images et de films de Jos Leys. 

La géométrie énumérative est la branche des mathématiques dont l'objectif est de répondre à des questions du type: Combien de droites passent par 2 points dans le plan (facile)? Combien de coniques passent par 5 points dans le plan (facile)? Combien de cubiques avec un point double passent par 8 points dans le plan (moins facile)?Si l'on compte les courbes définies sur le corps C, alors ce nombre de courbes ne dépend pas de la configuration de points choisie, tout comme le nombre de racines complexes d'un polynôme en une […]

De façon empirique, nous parvenons à faire beaucoup de choses avec plus ou moins d’efficacité et de réussite. Quand il s’agit de faire un créneau, les conséquences peuvent parfois être risibles... Mais quand il s’agit de propulser une fusée ou de planifier des missions interplanétaires, il vaut mieux ne pas rater son coup.La théorie du contrôle est une branche des mathématiques qui permet de contrôler, d'optimiser et de guider des systèmes sur lesquels on a une action, comme par exemple une voiture, un robot, une navette spatiale, une réaction chimique, […]

Lorsque l’on compose deux polynômes d’une variable, le degré du polynôme obtenu est égal au produit des degrés des deux polynômes initiaux. Considérons maintenant un problème qui fait intervenir plusieurs variables. On se donne une transformation f de l’espace affine de dimension n dans lui même qui est définie par des formules polynomiales. Par compositions successives, nous obtenons une suite de transformations polynomiales : f, f^2=f circ f, f^3=f circ f circ f, …, f^k. Que dire du degré des formules qui définissent f^k lorsque k varie ? Nous verrons que derrière cette question simple se cachent des […]

J'expliquerai d'abord comment discrétiser l'équation ordinaire x'(t)=-DF(x(t)) (dite flot de gradient) en exploitant sa structure gradient, et comment cela peut permettre d'étudier cette équation dans le cas où x(t) vit dans un espace métrique (et pas dans R^n) et/ou F n'est pas différentiable (ou sa différentiabilité n'a pas de sens). Ensuite, j'analyserai le cas d'un espace métrique particulier, l'espace des mesures de probabilité sur un domaine donné, muni de la distance induite par le transport optimal. Les équations d'évolutions dans cet espace deviennent des EDP sur une densité dépendant de […]