Séminaire Des mathématiques

La théorie classique de l'électrostatique décrit l'énergie d'intéraction de N particules identiques négativement chargées se repoussant librement sur un condensateur (un compact de l'espace euclidien). Les configurations à l'équilibre, qui minimisent cette énergie, ne sont pas uniques en général, mais un résultat remarquable montre que l'unicité est restaurée à la «limite thermodynamique», i.e. lorsque N tend vers l'infini. En d'autres termes, les configurations à l'équilibre s'équirépartissent sur une uniquemesure de probabilité, décrivant l'état à l'équilibre macroscopique du système. Le but de cet exposé est d'introduire les bases de la théorie du potentiel sur lesquelles repose cet énoncé d'équirépartition, […]

Artin a résolu le 17ème problème de Hilbert en démontrant qu'un polynôme en n variables à coefficients réels qui est positif est somme de carrés de fractions rationnelles. Pfister a spectaculairement amélioré cet énoncé en montrant qu'il est en fait somme d'au plus 2^n carrés de fractions rationnelles. Peut-on encore améliorer le théorème de Pfister ? Dans cet exposé, nous survolerons ces questions, et expliquerons des progrès récents et des problèmes ouverts, en mettant l'accent sur l'influence de la géométrie.

La théorie des systèmes dynamiques s’attache historiquement à étudier les propriétés asymptotiques d’un système qui évolue au cours du temps. Il est bien connu qu’une telle évolution peut être selon les cas régulière ou chaotique. Ces comportements s’observent déjà sur des systèmes explicites très simples en petite dimension. Je vais essayer de décrire quelques uns de ces exemples, et comment ils s’inscrivent dans le panorama (conjectural) des systèmes dynamiques en dimension 2.

La combinatoire additive concerne les propriétés des sous-ensembles finis des groupes abéliens, et en particulier des ensembles finis de nombres entiers. Il y a beaucoup de problèmes et de théorèmes interessants dans le domaine, dont je vais présenter quelques uns. Une des idées centrales est celle d'une structure quasi-aléatoire, qui est une structure qui ressemble à une structure qui a été choisie au hasard, même si ce n'est pas forcément le cas.

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Je propose(1) de montrer que le groupe des difféomorphismes du disque est contractile (c'est un théorème de Smale, avec une jolie preuve)(2) d'expliquer le tout début de la théorie géométrique des groupes, et, si on a le temps, de raconter des tentatives actuelles pour mélangerles deux sujets.

Dans cet exposé, nous commencerons par rappeler les propriétés classiques de la transformation de Fourier sur ${bf R}^n$. Puis nous présenterons le groupe d'Heisenberg que l'on peut voir comme le groupe non commutatif le plus proche de ${bf R}^n$.Nous définirons alors la famille des représentations de Schrödinger. Ensuite, nous présenterons la définition de la transformation de Fourier d'une fonction intégrable dans ce cadre; c'est une famille d'opérateurs bornés sur un espace de fonctions de carré intégrable.La question que nous aborderons alors est: peut-on identifier de telles familles à des fonctions […]

La prise en compte de phénomènes d'interaction fluide-structure est importante dans la modélisation mathématique du système cardiovasculaire, que ce soit pour les écoulements dans les grosses artères ou autour des valves cardiaques. Je donnerai une idée des avancées réalisées au cours des dix dernières années. En particulier, je montrerai comment l'analyse numérique de modèles simplifiés a permis de progresser.

In this talk I will concentrate on two examples from planetary science which made the headlines in recent years to highlight the power and significance of nonlinear geometric partial differential equations (PDEs) explaining puzzles presented by Nature. One key link between PDE theory of shape evolution and natural phenomena is the Gömböc, the first mono-monostatic object whose existence was first conjectured by V.I. Arnold in 1995. I will explain the connection and illustrate the process how mathematical models of Nature may be identified.

Il y a cent ans, pendant la préhistoire de la mécanique quantique, se posait la question de trouver des conditions de quantification pour décrire le spectre des atomes. Einstein en particulier s'est interrogé sur la quantification des systèmes qui ont la propriété d'ergodicité en mécanique classique. Nous ferons le point sur les principales conjectures liées à cette question, et décrirons quelques résultats récents, en insistant plus particulièrement sur la propriété appelée ergodicité quantique.

Au delà de la preuve par Hermite et Lindemann de la transcendance des constantes e et $pi$,Les nombres algébriques sont ceux qui sont solution d'une équation polynomiale (non triviale) à coefficients rationnels ;les autres sont appelés transcendants, parmi lesquels $e$ (Hermite) et $pi$ (Lindemann). De même, les fonctions algébriques (d'une variable $z$) sont celles qui sont solutiond'une équation polynomiale (non triviale) à coefficients polynomiaux ; les autres sont qualifiées de transcendantes,par exemple la fonction exponentielle.La théorie des nombres transcendants s'attache à établir la transcendance de valeurs de fonctions méromorphes transcendantes,ou, […]

Les fractals sont bien acceptés en géométrie, en partie grâce aux efforts de Benoît Mandelbrot : une fougère est fractale car ses ramilles sont semblables à la fougère originale, à plus petite échelle. Qu'en est-il en algèbre ? Qu'est-ce qu'un «groupe fractal», une «algèbre fractale» ? Je donnerai quelques exemples de tels objets, ainsi que certaines de leurs propriétés les plus remarquables.