De façon empirique, nous parvenons à faire beaucoup de choses avec plus ou moins d’efficacité et de réussite. Quand il s’agit de faire un créneau, les conséquences peuvent parfois être risibles... Mais quand il s’agit de propulser une fusée ou de planifier des missions interplanétaires, il vaut mieux ne pas rater son coup.La théorie du contrôle est une branche des mathématiques qui permet de contrôler, d'optimiser et de guider des systèmes sur lesquels on a une action, comme par exemple une voiture, un robot, une navette spatiale, une réaction chimique, […]

Lorsque l’on compose deux polynômes d’une variable, le degré du polynôme obtenu est égal au produit des degrés des deux polynômes initiaux. Considérons maintenant un problème qui fait intervenir plusieurs variables. On se donne une transformation f de l’espace affine de dimension n dans lui même qui est définie par des formules polynomiales. Par compositions successives, nous obtenons une suite de transformations polynomiales : f, f^2=f circ f, f^3=f circ f circ f, …, f^k. Que dire du degré des formules qui définissent f^k lorsque k varie ? Nous verrons que derrière cette question simple se cachent des […]

J'expliquerai d'abord comment discrétiser l'équation ordinaire x'(t)=-DF(x(t)) (dite flot de gradient) en exploitant sa structure gradient, et comment cela peut permettre d'étudier cette équation dans le cas où x(t) vit dans un espace métrique (et pas dans R^n) et/ou F n'est pas différentiable (ou sa différentiabilité n'a pas de sens). Ensuite, j'analyserai le cas d'un espace métrique particulier, l'espace des mesures de probabilité sur un domaine donné, muni de la distance induite par le transport optimal. Les équations d'évolutions dans cet espace deviennent des EDP sur une densité dépendant de […]

Le fast marching est un algorithme efficace pour la résolution de l'équation eikonale, qui permet de calculer le plus court chemin entre deux points d'un domaine de R^d. Ses applications sont nombreuses, et vont de la planification de mouvement à la segmentation d'images médicales. L'unité de longueur, pour la mesure du chemin, peut varier dans le domaine. Motivés par certaines applications, nous généralisons l'algorithme au cas où l'unité de longueur dépend également de la direction, voire de l'orientation du chemin. Un conflit apparait entre cette géométrie anisotrope et la grille […]