La théorie conforme de Liouville a été introduite de manière non rigoureuse par Polyakov dans un papier fondamental de 1981. C'est une théorie quantique des champs (quantum field theory) en deux dimensions qui a une propriété supplémentaire d'invariance conforme, ce qui en fait une théorie conforme des champs. Je vais essayer de donner un aperçu de la construction rigoureuse de cette théorie donnée dans un papier tout aussi fondamental de David, Kupiainen, Rhodes et Vargas en 2015. Cette construction repose sur une version judicieusement choisie du champ libre Gaussien et […]

A classical theorem due to Kasteleyn says that the partition function of a planar dimer model equals to the Pfaffian of a properly signed adjacency matrix of the graph. In 2000, Kenyon proved that the fluctuations of the associated height function in special (so-called Temperleyan) discrete approximations to a given planar domain on refining square grids converge to the Gaussian Free Field. The starting point of Kenyon's argument is an interpretation of the Kasteleyn matrix as a discrete Cauchy-Riemann operator; one of the observations that brought discrete holomorphic functions to […]

Les fonctions de Schur sont une base orthonormale de polynômes symétriques en plusieurs variables, qui possèdent de nombreuses propriétés combinatoires remarquables. L'une de ces propriétés, la formule sommatoire de Cauchy, permet de définir de manière très naturelle des mesures de probabilités sur les partitions d'entiers. Le but de l'exposé est d'expliquer une conséquence probabiliste de ces propriétés combinatoires, et son importance dans l'étude des processus de croissance d'interfaces, les systèmes de particules, ou encore les permutations aléatoires (d'après Baik-Deift-Johansson 1999, Johansson 2000, Okounkov 2001). Nous verrons au passage des liens […]