On présentera un résultat de type Ax-Lindemann pour les produits de courbes de Mumford sur un corps p-adique. Notre preuve reprend en l'adaptant les grandes lignes de l'approche de Pila dans le cas archimédien. En particulier nous utilisons un théorème de Pila-Wilkie p-adique obtenu avec R. Cluckers et G. Comte. Il s'agit d'un travail en commun avec A. Chambert-Loir.

On sait que les ensembles semi-algébriques p-adiques admettent une décomposition cellulaire semblable à celle des semi-algébriques réels (Denef 1984). On sait aussi les classifier à bijection semi-algébrique près (Cluckers 2001), mais pas à homéomorphismes semi-algébriques près. En introduisant une notion appropriée de simplexe sur les corps p-adiquement clos, on peut montrer que tout ensemble semi-algébrique p-adique est semi-algébriquement homéomorphe à un complexe simplicial p-adique, exactement comme dans le cas réel clos. C'est ce résultat récent de `triangulation p-adique' que je tâcherai de présenter, avec ses applications les plus directes (existence […]

Je présente un formalisme combinatoire pour l'étude des dégénérescences des séries linéaires dans une famille de courbes algébriques. J'en déduis quelques applications dont notamment l'équirépartition selon la mesure admissible de Zhang des points de ramification des fibrés en droite sur les courbes de Berkovich, un analogue non-archimédien du théorème de Mumford-Neeman. Je discuterai aussi la question de la convergence de la mesure d'Arakelov vers la mesure de Zhang dans une famille de surfaces de Riemann.

O-minimal structures on the real field have many desirable properties. As examples: (a) Hausdorff (and even packing) dimension agrees with topological dimension on locally closed definable sets. (b) Locally closed definable sets have few rational points (in the sense of the Pila-Wilkie Theorem). (c) For each positive integer p, every closed definable set is the zero set of a definable C^p function. (d) Connected components of definable sets are definable.But to what extent is o-minimality necessary for these properties to hold? I will discuss this question, and illustrate via examples […]

Expanding a model theoretically `tame' structure in a way that it stays `tame' has been a theme in the recent years. In the first part of this talk, we present a history of work done in that frame. Then we focus on the case of expansions of o-minimal structures by a unary predicate. There is a dividing line according to whether the predicate is dense or discrete

Compter les points rationnels de hauteur bornée dans le graphe d'une fonction, ou plus généralement d'une courbe (plane), se ramène à estimer le nombre Z_d de points d'intersection de cette courbe avec un ensemble algébrique de degré d donné. J'expliquerai - d'une part comment on peut produire des familles de fonctions analytiques sur telle que Z_d est polynomialement borné en d, et comment une telle borne assure que le graphe d'une telle fonction recèle moins de log?(T) points rationnels de hauteur < T, - d'autre part comment on peut traiter […]