On sait que la théorie DCF_0 des corps différentiellement clos de caractéristique 0, élimine les quantificateurs dans le langage { + , - , · , 0 , 1 , D } des anneaux différentiels. Pierce et Pillay ont montré que tout ensemble définissable est une combinaison booléenne d'ensembles définis par des D-variétés. Une D-variété est une paire (V, s), où V est une variété algébrique, et s: V
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Dans cet exposé, nous commencerons par rappeler les propriétés classiques de la transformation de Fourier sur ${bf R}^n$. Puis nous présenterons le groupe d'Heisenberg que l'on peut voir comme le groupe non commutatif le plus proche de ${bf R}^n$.Nous définirons alors la famille des représentations de Schrödinger. Ensuite, nous présenterons la définition de la transformation de Fourier d'une fonction intégrable dans ce cadre; c'est une famille d'opérateurs bornés sur un espace de fonctions de carré intégrable.La question que nous aborderons alors est: peut-on identifier de telles familles à des fonctions […]
Originating in the theory of unitary group representations, the notion of spectral gap has played a huge role in many of the deep results in the theory of von Neumann algebras in the last couple of decades. Recently, with my collaborators, we are slowly understanding the model-theoretic significance of spectral gap, in particular its connection with definability. In this talk, I will discuss a few of our recent observations in this direction and speculate on some further possible developments. I will assume no knowledge of von Neumann algebras nor continuous […]
The Chabauty method often allows one to find the rational points on curves of genus at least 2 over the rationals, but has a lot of limitations. On a theoretical level, the Mordell-Weil rank of the Jacobian of the curve has to be strictly smaller than its genus. In practice, even when this condition is satisfied, the relevant Coleman integrals can usually only be computed for hyperelliptic curves. We will report on recent work of ours (with different combinations of collaborators) on extending the method to more general curves. In […]
Zilber conjectured that the complex field equipped with the exponential function is quasiminimal: every definable subset of the complex numbers is countable or co-countable. If true, it would mean that the geometry of solution sets of complex exponential-polynomial equations and their projections is somewhat like algebraic geometry. If false, it is likely that the real field is definable and there may be no reasonable geometric theory of these definable sets.I will report on some progress towards the conjecture, including a proof when the exponential function is replaced by the approximate […]
L'obstruction de Brauer-Manin explique (en partie) le défaut de densité des points rationnels d'une variété X dans le produit des points sur les différents complétés du corps de base. Conjecturalement, cette obstruction est la seule pour les variétés rationnellement connexes. Cela a pour conséquence l'existence d'un ensemble fini de mauvaises places en dehors desquelles on a en effet la densité souhaitée.Dans cet exposé, je montrerai comment décrire explicitement un tel ensemble de mauvaises places pour un espace homogène d'un groupe semisimple et simplement connexe à stabilisateurs finis. Cela passe par […]
Soient k un corps de caractéristique zéro et K le corps des fonctions d'une courbe X sur k. Soient T un K-tore, S un ensemble finide points fermés de X, et T(A,S) l'espace adélique de T hors de S. On démontre que l'ensemble des points rationnels T(K) estdiscret dans T(A,S), puis on calcule le quotient T(A,S)/T(K) en fonction de la cohomologie galoisienne de T dans les trois cassuivants : k algébriquement clos, k=C((t)), et k p-adique.
La thèse de Grothendieck et son article ultérieur intitulé 'Résumé de la théorie métrique des produits tensoriels topologiques' (1956) a eu un énorme impact sur le développement de la géométrie des espaces de Banach pendant les 60 dernières années. Nous passerons en revue ce 'Résumé' en nous concentrant sur le résultat que Grothendieck lui-même a appelé le théorème fondamental de la théorie métrique des produits tensoriels, maintenant devenu 'l'inégalité de Grothendieck' ou 'le théorème de Grothendieck'. Ce résultat a récemment fait une apparition pour le moins inattendue dans plusieurs domaines […]
La prise en compte de phénomènes d'interaction fluide-structure est importante dans la modélisation mathématique du système cardiovasculaire, que ce soit pour les écoulements dans les grosses artères ou autour des valves cardiaques. Je donnerai une idée des avancées réalisées au cours des dix dernières années. En particulier, je montrerai comment l'analyse numérique de modèles simplifiés a permis de progresser.
Nous nous intéressons à une classe d'équations intégro-différentielles paraboliques venant de la biologie évolutive. Ces équations décrivent la dynamique d'une population structurée par trait phénotypique sous l'effet des mutations et de la sélection. Les solutions de ces équations se concentrent, à la limite de petite diffusion (mutations) et en temps long, sous forme de masses de Dirac.Dans la première partie, nous présentons les ingrédients de base d'une approche basée sur des équations de Hamilton-Jacobi avec contrainte pour étudier ce type de problème.Dans la seconde partie, nous considérons un cadre plus […]
