I will present a bound for the number of F_q-points of bounded degree in a variety defined over Z, uniform in q. This generalizes work by Sedunova for fixed q. The proof involves model theory of valued fields with algebraic Skolem functions and uniform non-Archimedean Yomdin-Gromov parametrizations. This is joint work with Raf Cluckers and François Loeser.
Recall that a field K is large if it is existentially closed in K((t)). Examples of such fields are the complex, the real, and the p-adic numbers. This class of fields has been exploited significantly by F. Pop and others in inverse Galois-theoretic problems. In recent work with M. Tressl we introduced and explored a differential analogue of largeness, that we conveniently call ``differentially large''. I will present some properties of such fields, and use a twisted version of the Taylor morphism to characterise them using formal Laurent series and […]
Perin et Sklinos, et indépendamment Ould Houcine, ont démontré en 2011 que les groupes libres sont homogènes : deux éléments qui ont le même type sont dans la même orbite sous l'action du groupe d'automorphismes. Dans cet exposé, j'expliquerai que ce résultat reste presque vrai pour les groupes virtuellement libres, au sens suivant : l'ensemble des éléments ayant le même type qu'un élément donné contient un nombre fini d'orbites sous le groupe d'automorphismes, et ce nombre ne dépend pas de l'élément considéré. J'expliquerai également pourquoi je pense que ce résultat […]
Publié en 1801, ce traité de mathématiques a été traduit en plus de dix langues, qualifié de « monument impérissable à la gloire de l’esprit humain » et a inspiré des développements aussi variés que la théorie de Galois, la théorie algébrique des nombres de Kummer à Hilbert, les tests de primalité de Lucas-Lehmer ou l’hypothèse de Riemann sur les corps finis, et bien d’autres mathématiques sur plus de deux siècles. L’exposé présentera l’ouvrage et son auteur, quelques-unes des mathématiques auquel les Disquisitiones ont donné lieu et ce faisant discutera […]
(En collaboration avec Joshua Wiscons)L'exposé mélange théorie des modèles, théorie des groupes, et algèbre géométrique. On y parlera de groupes de rang de Morley fini, mais il suffit de savoir naïvement ce qu'est une dimension à valeurs entières, sans devoir maîtriser les finesses de la conjecture de Cherlin-Zilber.Un groupe abstrait porte peu d'information de nature géométrique, même au sens des géométries d'incidence, et c'est toujours remarquable si cela se produit.Le pur groupe SO(3,R), par exemple, permet de redéfinir l'espace projectif réel. PGL(2,C) permet presque la même chose : il définit […]
With every cover C -> P^1 of the projective line one can associate its so-called scrollar invariants (also called Maroni invariants) which describe how the push-forward of the structure sheaf of C splits over P^1. They can be viewed as geometric counterparts of the successive minima of the lattice associated with the ring of integers of a number field. In this talk we consider the following problem: how do the scrollar invariants of the Galois closure C' -> P^1 and of its various subcovers (the so-called resolvents of C -> […]
Joint work with Kobi Peterzil.Let G be a simple compact Lie group, for example G=SO_3(R). We consider the structure of definable sets in the subgroup G^{00} of infinitesimal elements. In an aleph_0-saturated elementary extension of the real field, G^{00} is the inverse image of the identity under the standard part map, so is definable in the corresponding valued field. We show that the pure group structure on G^{00} recovers the valued field, making this a bi-interpretation. Hence the definable sets in the group are as rich as possible.
Using the group configuration theorem, Hrushovski and Pillay showed that the law of a group definable in the reals or the p-adics is locally an algebraic group law, up to definable isomorphism. There are some natural expansions of these two theories of fields, by adding a predicate for a dense substructure, for example the algebraic reals or the algebraic p-adics. We will present an overview on some of the features of these expansions, and particularly on the characterisation of open definable sets as well as of groups definable in the […]
Let G be a group. A subgroup H of G is a Cartan subgroup ofG if H is a maximal nilpotent subgroup of G, and for every normal finiteindex subgroup X of H, X has finite index in its normalizer in G.We consider Cartan subgroups of definably connect groups definable inan o-minimal structure. In we proved that, in this context,Cartan subgroups of G exist, they are definable and they fall infinitely many conjugacy classes.In this talk I will prove that the union of the Cartan subgroups isdense in the group, […]
On dispose de nombreux travaux traitant la formation de singularités pour des équations d'évolution non linéaires invariantes par scaling. Dans cet exposé, je présenterai l'approche qui consiste à construire des solutions qui explosent en temps fini par concentration du soliton. La première partie de l'exposé portera sur la stratégie générale de cette approche constructive. Les solitons étant au coeur de ces phénomènes, je débuterai le cours par un aperçu des ingrédients rentrant en jeu dans l'étude de deux types de solitons. Le premier en lien avec le problème de Yamabe […]
Tuesday, 22 January14.00-14.45 Bertrand Rémy (Ecole Polytechnique)15.00-15.45 Tom Hutchcroft (Cambridge)15.45-16.15 coffee break16.15-17.00 Pavel Zalesski (University of Brasilia)Bertrand Remy, Quasi-isometric invariance of continuous group Lp-cohomology, and first applications to vanishings (joint with Marc Bourdon)We show that the continuous L^p-cohomology of locally compact second countable groups is a quasi-isometric invariant. As an application, we prove partial results supporting a positive answer to a question asked by M. Gromov, suggesting a classical behaviour of continuous L^p-cohomology of simple real Lie groups. In addition to quasi-isometric invariance, the ingredients are a spectral sequence argument […]
Using ultraproducts, I will describe the spectrum of the profinite completion of the integers and of the finite adeles over the rationals.The final aim is to describe the structure sheaf of these structures.Joint work with Margarita Otero and Angus Macintyre.
