L'obstruction de Brauer-Manin explique (en partie) le défaut de densité des points rationnels d'une variété X dans le produit des points sur les différents complétés du corps de base. Conjecturalement, cette obstruction est la seule pour les variétés rationnellement connexes. Cela a pour conséquence l'existence d'un ensemble fini de mauvaises places en dehors desquelles on a en effet la densité souhaitée.Dans cet exposé, je montrerai comment décrire explicitement un tel ensemble de mauvaises places pour un espace homogène d'un groupe semisimple et simplement connexe à stabilisateurs finis. Cela passe par […]

Soient k un corps de caractéristique zéro et K le corps des fonctions d'une courbe X sur k. Soient T un K-tore, S un ensemble finide points fermés de X, et T(A,S) l'espace adélique de T hors de S. On démontre que l'ensemble des points rationnels T(K) estdiscret dans T(A,S), puis on calcule le quotient T(A,S)/T(K) en fonction de la cohomologie galoisienne de T dans les trois cassuivants : k algébriquement clos, k=C((t)), et k p-adique.

En 1986, Kato et Kuzumaki ont émis des conjectures concernant les liensentre la dimension cohomologique des corps, la K-théorie de Milnor etles hypersurfaces projectives de petit degré. Ces conjectures sontfausses en toute généralité, mais elles restent ouvertes pour les corpsqui apparaissent usuellement en arithmétique et en géométrie algébrique.Dans cet exposé, je présenterai plusieurs résultats en lien avec lesconjectures de Kato et Kuzumaki pour les corps globaux et pour certainscorps de fonctions.

Dans cette collaboration avec M. Florence, nous nous intéressons à la question de savoir quand les notions de rationalité et rationalité stable sont équivalentes. Nous traitons cette question dans le cas des tores, où une réponse positive est conjecturée par Voskresenskii. Pour une certaine classe de tores, cette conjecture est prouvée par Klyachko à l'aide de principes généraux. Nous donnons une nouvelle preuve explicite, en passant par des morphismes simples, menant à une application en cryptographie.

Il s'agira d'un exposé de survol de la théorie des espaces de Berkovich, préparatoire à l'exposé suivant.