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Inverse problems in the Parameterized Picard-Vessiot Theory
amphithéâtre RataudThe parameterized Picard-Vessiot theory aims at studying the differential behavior of solutions of parameterized linear differential equations. It associates to such an equation a linear differential algebraic group (LDAG), that is, a group of matrices whose entries are functions satisfying a fixed set of differential equations. After giving an introduction to this theory, I will show that not all LDAGs can occur as Galois groups over k(x), the field of rational functions in x whose coefficients are functions of a parameter t and characterize those LDAGs that do occur.
Algebre differentielle et geometrie des orbites. Une nouvelle correpondance galoisienne.
amphithéâtre RataudLa théorie classique de Picard-Vessiot fournit une correspondance galoisienne pour les extensions de corps différentiels. Nous présenterons une correspondance plus fine, sous forme d'une anti-équivalence de catégories entre algèbres de solutions associées à une équation différentielle linéaire (algèbres différentielles engendrées par un nombre fini de polynômes en les solutions fondamentales de l'équation) et variétés affines quasi-homogènes sous l'action du groupe de Galois différentiel. Une telle correspondance joue aussi dans le contexte plus général des connexions (intégrables ou non). Nous évoquerons le parti que cette correspondance permet de tirer, en algèbre […]
Pentes des réseaux euclidiens
ENS (amphithéâtre Galois sous la bibliothèque de mathématique)Un réseau euclidien est la donnée d’un espace vectoriel euclidien de dimension finie V et d’un sous-groupe Gamma de V, constitué des points de V dont les coordonnées, dans une certaine base de V, sont des nombres entiers. Les réseaux euclidiens interviennent dans de nombreux domaines des mathématiques, allant de la théorie des nombres à la géométrie riemannienne, ainsi qu’en physique du solide, en cryptographie, etc... En dépit de la simplicité de leur définition et de leur ubiquité, ces objets restent aujourd’hui bien mystérieux. Dans cet exposé, on évoquera plusieurs […]
Zéro cycles sur les variétés rationnellement connexes
Salle WNous allons parler de l'obstruction de Brauer-Manin pour les 0-cycles sur les variétés rationnellement connexes, particulièrement sur certaine fibrations au-dessus de l'espace projectif et certaine espaces homogènes.Références: http://arxiv.org/abs/1011.5995 et http://arxiv.org/abs/1107.1634
Tate-Shafarevich groups whose finiteness implies Leopoldt’s conjecture
Salle WGiven a number field k and a prime number p, we are interested in mixed Artin-Tate-motives M over k and in the ell-adic Galois representations attached to them. With these objects one can associate so-called Tate-Shafarevich groups. Their vanishing is, by construction, the obstruction to certain local-global principles. I will show how Leopoldt's conjecture for k and p follows from the finiteness of these groups.
Cycles évanescents
Info 2Cycles évanescents, suite
Info 2Autour du Théorème de Perron-Frobenius : Historique, applications, avec un détour dans le complexe
ENS (amphithéâtre Galois sous la bibliothèque de mathématique)Le célèbre théorème de Perron-Frobenius vient de fêter ses 100 ans. Des démonstrations (parfois simples) et des généralisations voient le jour régulièrement. Je vais sélectionner quelques éléments importants dans l’histoire de cette évolution, à travers des exemples en mécaniques statistiques, systèmes dynamiques et probabilités. Une des plus grandes contributions vient de G. Birkhoff qui introduisit en 1957 un principe de contraction uniforme pour des cônes (réels). Ceci a été ma source d’inspiration pour développer un principe de contraction uniforme pour des `cônes complexes’ et ainsi obtenir des théorèmes de type […]