Let L/K be a normal extension of number fields. The Hasse normprinciple is a local-global principle for norms. It is satisfied if anyelement x of K is a norm from L whenever it is a norm locally at everyplace. For any fixed abelian Galois group G, we investigate the densityof G-extensions violating the Hasse norm principle, when G-extensionsare counted in order of their discriminant. This is joint work with DanLoughran and Rachel Newton.
Les versions locales en p des indices de Tits caractérisent les classes d'équivalences motiviques des groupes semisimples. L'objectif de cet exposé est de présenter deux travaux consécutifs à ce résultat. On proposera dans un premier temps la classification des algèbres à involution à équivalence motivique près (travail commun avec Anne Quéguiner et Maksim Zhykhovich). Par suite on abordera la détermination de l'ensemble des valeurs possibles de ces p-indices de Tits (travail en commun avec Skip Garibaldi). Cette étude exhaustive aboutit à un dictionnaire complet mêlant structures algébriques, invariants cohomologiques, algèbres […]
Let G be a split semisimple linear algebraic group over a field k, let Ebe a G-torsor over k. Let h be an algebraic oriented cohomology theory inthe sense of Levine-Morel (e.g.~Chow ring or an algebraic cobordism).Consider a twisted form E/B of the variety of Borel subgroups G/B.Following Brion's and Kostant-Kumar's results on equivariant cohomology offlag varieties we establish an equivalencebetween the h-motivic subcategory generated by E/B and the category ofprojective modules of certain Hecke-type algebra H which depends on theroot system of G, its isogeny class, on E, and […]
Fixons un corps de base k, algébriquement clos de caractéristique zéro. A tout groupe fini G, Serre associe le groupe des invariants à valeurs dans la cohomologie galoisienne à coefficients dans un groupe abélien donné A. La cohomologie de G à coefficients dans A s'envoie naturellement vers ces invariants. Cette flèche est-elle surjective? La réponse à cette question de Serre est oui en degré au plus 2, mais non en général en degré au moins 3 (avec A=Z/p, p premier). J'expliquerai comment cela se déduit de calculs récents de Burt […]
In this talk we will discuss questions concerning the qualitative and quantitative behavior of integral points on log K3 surfaces. After describing some examples we will consider the question of growth rate of integral points on log K3 surfaces. We will discuss an asymptotic formula produced by a circle method heuristic due to Tim Browning that was established for other types of varieties, such as toric varieties whose log anti-canonical class is big (Tschinkel, Takloo-Bighash, Chambert-Loir), but argue that it requires some modification in order to fit the case of […]
We show that irreducibility of a polynomial in any number of variables over a number field is a diophantine condition, i.e. captured by an existential formula. This generalises a previous result by Colliot-Thélène and Van Geel that the set of non-nth-powers is diophantine for any n. Our method is heavily based on the Brauer group, originating from Poonen's use of quaternion algebras as a technical tool for first-order definitions in number fields.
Siegel proved the finiteness of the set of solutions to the unit equation in a number ring, i.e., for a number field K with ring of integers O, the equation x+y=1 has only finitely many solutions in O*. That is, reformulated in more algebro-geometric terms, the hyperbolic curve P^1-{0,1,infinite} has only finitely many 'integral points'. In 1983, Faltings proved the Mordell conjecture generalizing Siegel's theorem: a hyperbolic complex algebraic curve has only finitely many integral points. Inspired by Faltings's and Siegel's finiteness results, Lang and Vojta formulated a general finiteness […]
Gauss a donné des formules pour le nombre de points entiers primitifs de la 2-sphère de rayon au carré égal à n. Ces formules sont en termes de nombres de classes d'anneaux quadratiques de discriminant étroitement liés à n. Cela mène à la question de savoir si ceci peut être expliqué par une action libre et transitive du groupe de Picard de cet anneau sur l'ensemble des tels points entiers primitifs à symétries globales SO_3(Z) près. Ceci est en effet le cas, et cette action peut être explicitée. L'outil utilisé […]
Artin a résolu le 17ème problème de Hilbert en démontrant qu'un polynôme positif en n variables à coefficients réels est une somme de carrés de fractions rationnelles, et Pfister a montré que 2^n carrés suffisent. Dans cet exposé, on étudiera quand le théorème de Pfister peut être amélioré. On montrera qu'un polynôme réel positif de degré d en n variables est une somme de (2^n)-1 carrés si d<2n, et dans certains cas si d=2n.
I will explain some geometric ideas (mostly due to de Jong-Starr) one can use to study the Hasse principle for varieties defined over funvtion fields. I will illustrate these methods by giving a new proof of the classical result of Hasse -Minkowsky on quadrics.
It is well-known that weak approximation is birational invariant between smooth varieties by the implicit function theorem. For strong approximation, such property is no longer true. However one can expect that strong approximation is invariant between smooth varieties up to a closed sub-variety of codimension at least 2. Indeed, this result is proved for affine spaces in a joint work with Yang Cao which is applied to show strong approximation for toric varieties. Such result is also proved by Dasheng Wei by using a different method. In this talk, I'll […]
L'exposé portera sur une version forte de quelques questions classiques de la théorie inverse de Galois qui demande que toutes les extensions galoisiennes de Q de groupe G donné puissent être obtenues par spécialisation d'une même extension galoisienne E/Q(T) de groupe G. Après avoir replacé cette variante dans le contexte de la théorie inverse de Galois, j'expliquerai comment la mettre en défaut. Il s'agit d'un travail en cours avec Joachim König.
