Archives Séminaire « Des mathématiques »

Dans cet exposé nous aborderons deux sujets: la théorie de la stabilisation et l'IA pour les mathématiques. La stabilisation est une branche de la théorie du contrôle qui consiste à se demander: "si je peux agir sur un système, que puis-je lui faire faire ?" Cette théorie a la particularité de mêler des aspects très théoriques et très divers ainsi que des aspects très appliqués. Nous parlerons ensuite d'IA pour les mathématiques et nous nous demanderons s'il est possible d'apprendre des mathématiques à une IA. En particulier, est-ce qu'une IA […]

Les « assistants de preuve » sont des logiciels qui permettent d'entrer un énoncé de théorème et sa démonstration comme un programme, la compilation dudit programme garantissant que la démonstration proposée prouve effectivement l'énoncé donné. Initiés dans les années 60, ils font l'objet d'une grande activité scientifique depuis une trentaine d'années et ont permis de vérifier la correction d'énoncés tout à fait non triviaux. Intéressé par ces développements, je me suis appliqué à démontrer la simplicité du groupe alterné au sein du logiciel Lean et de sa librairie mathématique mathlib. […]

Il y a 266 ans, Euler introduit la première description mathématique cohérente des fluides et 25 ans plus tard, Monge initie la théorie du transport optimal. Ces sujets n'ont rien perdu de leur actualité et je voudrais expliquer leur lien via l'optimisation combinatoire.

Le « problème des rencontres »  est le calcul de la probabilité qu'une permutation prise au hasard dans le groupe symétrique ait un nombre donné de points fixes. Via le théorème de Cebotarev, cette quantité apparaît en arithmétique comme la proportion de nombres premiers pour lesquels la réduction modulo p d'un polynôme à coefficients entiers génériques a un nombre donné de racines. J'expliquerai une démonstration exotique du problème de rencontres, basée sur les représentations du "groupe symétrique" S_t en un nombre complexe t d'éléments, et j'énoncerai une conjecture sur les […]

Un système dynamique est un système qui évolue au cours du temps, souvent modélisé par l'itération d'une application d'un ensemble X dans lui-même. Beaucoup de systèmes dynamiques naturels sont modélisés par une dynamique dite conservative, les plus simples de ces dynamiques étant les difféomorphismes des surfaces qui préservent l’aire. Les premiers ensembles invariants étudiés pour ces dynamiques sont en général les orbites périodiques, mais nous allons nous intéresser à des ensembles invariants un peu plus complexes qui sont des ensembles de Cantor. Nous en décrirons de deux types, et expliquerons […]

Le but de l'exposé sera de présenter un théorème d'Adams énonçant quelles sphères peuvent êtres munies d'une structure de groupe topologique, prétexte à introduire l'idée d'invariant-et de leur structure-topologiques (en l’occurrence la K-théorie).

Consider Z^2, and assign a random length of 1 or 2 to each edge based on independent fair coin tosses. The resulting random geometry, first passage percolation, is conjectured to have a scaling limit. Most random plane geometric models (including hidden geometries) should behave the same. I will explain the basics of the limiting geometry, the "directed landscape", and its relation to traffic jams, tetris, coffee stains and random matrices.

La propagation des ondes est un des phénomènes physiques les plus communs dans le monde qui nous entoure : le son, les vibrations, les ondes à la surface de l’eau, les télécommunications, les radars,… L’étude des équations qui découlent de la modélisation de ces phénomènes et leur simulation est un champ de recherche très large et actif. Dans beaucoup d’applications, il est question de propagation d’ondes en régime harmonique, c’est à dire qu’elles ont une dépendance harmonique en temps, dans des milieux qui sont très grands devant la longueur d’onde […]

Le modèle de dimères représente la répartition de molécules di-atomiques sur la surface d'un cristal. Il appartient à la grande famille des modèles de mécanique statistique définis sur les graphes, dont d'autres représentant célèbres sont le modèle d'Ising et la percolation.   Après une introduction générale, nous nous intéresserons aux résultats fondateurs du modèle de dimères lorsque le graphe sous-jacent est fini, en particulier au théorème de Kasteleyn qui prouve une formule close pour le nombre de configurations de dimères.