Archives Séminaire « Des mathématiques »

Publié en 1801, ce traité de mathématiques a été traduit en plus de dix langues, qualifié de « monument impérissable à la gloire de l’esprit humain » et a inspiré des développements aussi variés que la théorie de Galois, la théorie algébrique des nombres de Kummer à Hilbert, les tests de primalité de Lucas-Lehmer ou l’hypothèse de Riemann sur les corps finis, et bien d’autres mathématiques sur plus de deux siècles. L’exposé présentera l’ouvrage et son auteur, quelques-unes des mathématiques auquel les Disquisitiones ont donné lieu et ce faisant discutera […]

http://www.math.ens.fr/~mourrat/desmaths_eynard.pdf

Dans cet exposé je discuterai de la conjecture de cristallisation, qui consiste à prouver que des points se mettent automatiquement sur un réseau périodique, dans certaines situations. Je parlerai principalement du cas particulier des gaz de Riesz et de Coulomb qui sont omniprésents dans de nombreuses branches des mathématiques. Ils décrivent par exemple la répartition des zéros de solutions d'équations aux dérivées partielles, la statistique des valeurs propres des matrices aléatoires, le placement optimal de points de discrétisation sur des surfaces, et sont reliés à la fonction Zeta de Epstein.

En partant d'objets simples comme les polynômes chromatiques, liés au fameux théorème des 4 couleurs, on va explorer quelques invariants - dans lesquels le nombre d'or est omniprésent - associés à des graphes noués dans l'espace. Ce sera l'occasion d'introduire les idées et les problèmes de la topologie dite quantique.

Étant donné un nombre premier p, nous expliquerons tout d’abord comment construire une valeur absolue sur Q, dite p-adique, puis un complété, de la même façon que l’on construit R à partir de Q. Ce complété, le corps des nombres p-adiques, possède des propriétés arithmétiques intéressantes, mais présente de nombreuses pathologies topologiques. Nous expliquerons comment y remédier en le plongeant dans un espace plus grand, un espace de Berkovich, et exposerons quelques applications.

Dans cet exposé, nous verrons que certaines inégalités fonctionnelles jouent un rôle crucial dans l'étude du comportement en temps grand de solutions de certaines EDP. Plus précisément, nous utiliserons des méthodes dites de dissipation d'entropie (dont le but est t'établir des versions quantitatives du mécanisme de décroissance de l'entropie) dans le cas de l'équation de Fokker-Planck. Nous étudierons ensuite le cas plus complexe de l'équation de Boltzmann (homogène en espace) et verrons que ces méthodes fournissent également des résultats sur le comportement en temps grand des solutions de l'équation. Néanmoins, […]

 On s’intéressera dans l’exposé au problème suivant, appelé problème d'Ulam: si on prend une permutation s de {1,…,n} au hasard, uniformément parmi toutes les permutations possibles, quelle est la longueur de la plus longue sous-suite croissante de s(1), s(2),…, s(n) ?Ce problème d’apparence simple est en réalité très riche, et on verra qu’il est relié à certaines modèles de physique statistique, dont un modèle de polymère aléatoire.

 La première partie du 16-ème problème de Hilbert est consacrée, en particulier, à la topologie des courbes algébriques réelles planes. Les courbes algébriques réelles semblent être éloignées de la géométrie combinatoire. On parlera de propriétés topologiques de ces courbeset on montrera qu'il est possible de les construire de façon purement combinatoire : certaines courbes algébriques réelles peuvent être obtenues en recollant des morceaux qui sont essentiellement des droites. Cette procédure s'appelle le patchwork combinatoire ; elle est directement liée à la géométrie tropicale (une branche des mathématiques qui est apparue […]

 On s’intéressera à l’opérateur obtenu en perturbant le Laplacien par un bruit blanc. Cet opérateur peut être vu comme une limite d’échelle de l’Hamiltonien d’Anderson sur réseau. On présentera des résultats sur la construction de cet opérateur aléatoire à l’aide de la théorie des structures de régularité d’Hairer, puis sur les propriétés de son spectre, notamment sur la localisation de ses fonctions propres.

 Nous verrons qu'il est possible de faire des statistiques sur les nombres premiers, et de prédire quelles lois de probabilités dictent leur répartition. En particulier je parlerai de progressions arithmétiques et de petits, moyens et grands écarts.

 Les jeux à champ moyen constituent un domaine de recherche nouveau et actif depuis les articles fondateurs de Lasry et Lions en 2007. Il s’ agit d’étudier le comportement asymptotique d’ équilibres de Nash quand le nombre de joueurs tend vers l’infini. Un joueur représentatif choisit alors sa stratégie en tenant compte d’une information globale sur les états ou les stratégies des autres joueurs. On insistera particulièrement sur les systèmes d’ équations aux dérivées partielles qu’on obtient dans les cas les plus simples, et on s’ intéressera à des questions […]

  Imaginons qu'on ait besoin de calculer de manière approximative le minimum d'une fonction. Étant fixée une durée de calcul maximale, quelle qualité d'approximation peut-on espérer ? Nous répondrons à cette question sous l'hypothèse que la fonction est à gradient lipschitzien, d'abord dans le cas convexe puis dans le cas général.