Archives Séminaire « Des mathématiques »

 Si le terme modulation fait partie du langage courant, notamment en ce qui concerne les ondes radio (AM/FM), la théorie des modulations telle qu'initiée par le mathématicien britannique Whitham dans les années 1960-1970 recèle encore bien des questions ouvertes, malgré des avancées récentes. Il sera question dans cet exposé de modulations d'ondes modélisées par des équations aux dérivées partielles non-linéaires dispersives, dont des archétypes sont les équations de Korteweg-de Vries et de Schrödinger non-linéaire, omniprésentes en physique mathématique.

Un réseau "unimodulaire pair" est un réseau  L  de l'espace euclidien  R^n  qui possède d'une part un domaine fondamental de volume 1, et d'autre part tel que  x.x  est un entier pair pour tout élément x de L. Le réseau  E_8  (n=8) et le réseau de Leech (n=24) en sont des exemples particulièrement fameux. Les réseaux unimodulaires pairs interviennent dans des domaines variés des mathématiques : problèmes d'empilements de sphères, classification des formes quadratiques ``sur Z'', théorie des formes modulaires, invariants des variétés, classification des groupes simples finis sporadiques... et […]

Un nombre complexe est dit transcendent s’il ne vérifie aucune équation polynomiale (non triviale) à coefficients rationnels. Tandis que “pratiquement tous” les nombres complexes sont transcendants, il est souvent difficile de décider si un certain nombre est transcendant. Pire, c’est déjà non trivial d'en donner un seul exemple explicite ! Ce n’est qu’au XIXème siècle que les résultats arrivent : Liouville (1844) montre que le réel \[ \sum_{n = 1}^\infty 10^{-n!} = 0.110001000000000000000001\dots \] est transcendant, Hermite (1873) que $e$ est transcendant, et Lindemann (1882) qu’étant donné un nombre complexe […]

Dans cet exposé, j'essaierai de relier les problèmes de discrétisation de dynamiques, de rotations d'images numériques et de pavages par des cubes.

Soit A un anneau commutatif unitaire. Peut-on définir l'ensemble des éléments non nuls de A par une formule ne contenant que des conjonctions et disjonctions (mais pas de négations !) d'égalités polynomiales, et seulement le quantificateur ∃ ? Moret-Bailly a décrit de grandes classes d'anneaux pour lesquelles la réponse est positive, et d'autres pour lesquelles elle est négative ; ces descriptions que je présenterai mettent en jeu de l'algèbre commutative et de la géométrie analytique complexe.

Le théorème central limite est un des résultats fondamentaux de la théorie des probabilités, qui indique que les sommes de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées sont asymptotiquement gaussiennes. Dans cet exposé, j'expliquerai comment ce résultat se place dans un contexte plus général : les projections de basses dimension de vecteurs en grande dimension sont souvent (mais pas toujours) proches de suivre un loi gaussienne.

Considérons un espace donné par l’ensemble des solutions complexes d’un système d’équations polynomiales. En dézoomant de plus en plus, on voit apparaître un espace d’apparence plus simple, de nature essentiellement combinatoire. Cette propriété peut s’interpréter comme une instance d’un phénomène plus général de dégénérescence d’espaces complexes vers un espace d’une autre sorte, dit espace ultramétrique. Nous expliquerons comment donner un sens précis à ces idées à l’aide de la théorie des espaces de Berkovich hybrides. Nous présenterons également quelques exemples d’applications.

Considérons un espace muni d’une multiplication m : X x X -> X. On peut demander que m soit commutative, c’est-à-dire m(x,y) = m(y,x), mais souvent en topologie, c’est trop demander. Que se passe-t-il si on relaxe cette condition, en demandant uniquement que (x,y) -> m(x,y) soit homotope à (x,y) -> m(y,x), c’est-à-dire qu’on peut déformer continument la première application en la seconde ? Peut-on prétendre que notre multiplication est commutative ? Cette question est à l’origine de beaucoup de développements modernes en théorie de l’homotopie, et nous verrons qu’elle […]

Dans cet exposé nous nous étudierons une dynamique aléatoire en temps discret sur l'ensemble des configurations de spins $\Omega_L:= \left\{ \sigma : \{1,\dots, L\}^2 \to \{-1,1\} \right\}$ régie par les règles suivantes : A chaque étape la valeur d'un spin pris au hasard est actualisé. L'actualisation de la valeur d'un spin est faite en regardant l'état des spins voisins, et la nouvelle valeur adoptée est celle observée chez la majorité des voisins. Les cas d'égalité sont tranchés par des pile-ou-faces de paramètre 1/2. On part d'une configuration initiale uniformément égale […]

La mécanique quantique, entre autres bizarreries, amène dans certains cas à considérer des quantités classiquement appelées probabilités qui peuvent prendre des valeurs négatives. Nous ferons un tour d'horizon de comment elles émergent de l'expérience, de comment on peut les inférer à partir de lois de probabilité bien positives et de leur traitement dans l'espace des phases. Un résultat d'unicité permet de choisir parmi les constructions possibles celle qui est la plus fondamentale. Puis Constantin Vaillant-Tenzer nous jouera de la musique !