Séminaire Des mathématiques

Résumé : Une carte planaire est un dessin (plongement propre) d'un graphe fini connexe dans le plan. Motivé par le célèbre théorème des quatre couleurs, W. T. Tutte a réussi dans les années 60 à énumérer les cartes planaires et ainsi fonder l'étude systématique de ces objets. Depuis, les cartes sont apparues dans d'autres domaines des mathématiques comme les intégrales matricielles, la géométrie algébrique, l'analyse complexe et la physique théorique.En particulier, en gravité quantique 2D, les physiciens considèrent les cartes planaires comme une discrétisation naturelle d'une surface de Riemann fluctuante. […]

En 1924-25, Bose puis Einstein ont expliqué que, à température très basse, les particules de certains gaz pouvaient se placer toutes dans le même état quantique, les caractéristiques singulières de la mécanique quantique devenant alors visibles à notre échelle. Ces systèmes, appelés condensats de Bose-Einstein, sont maintenant activement étudiés en laboratoire.Dans cet exposé je présenterai le problème mathématique associé et quelqueséléments clés utilisés dans la preuve de l'existence de la condensation deBose-Einstein. Il s'agit d'étudier le comportement de la première valeurpropre d'un opérateur, dans une limite où la dimension tend […]

Les battages (certains éléments du groupe symétrique) et l’algèbre qui leur est associée apparaissent dans des domaines variés des mathématiques: combinatoire, équations différentielles (via les intégrales itérées), valeurs de fonctions zetas multiples,… ainsi qu’en physique théorique. On peut les “déformer” en remplaçant le groupe symétrique par le groupe des tresses et des exemples très simples d’algèbres ainsi obtenues conduisent à une construction naturelle des groupes quantiques.Toutes ces notions seront définies dans l'exposé; on donnera des exemples concrets et des applications.

La structure des valeurs propres d'un système quantique intégrable, c'est-à-dire de son spectre, est essentielle à sa compréhension. Baxter, dans un article célèbre de 1971, les a calculé pour le modèle à 6 sommets (ou de la glace). Il a montré qu'elles ont une forme remarquable et régulière faisant intervenir des polynômes.Dans les années 80-90, il a été conjecturé que de tels polynômes permettent de décrire le spectre de nombreux systèmes quantiques plus généraux.Nous allons voir comment, en adoptant le point de vue mathématique moderne de la théorie des représentations, […]

Résoudre des équations est l'une des plus anciennes tâches que les mathématiciens se sont donné et l'étude des équations en nombres entiers remonte à l'Antiquité : on les appelle équations diophantiennes en l'honneur de Diophante dont la trop étroite marge de l'Arithmétique accueillit le fameux problème de Fermat. Au cours du 20e siècle, les mathématiciens comprirent que la réponse à ces problèmes ne dépend pas tant de l'algèbre de l'équation que de la forme que cette équation décrit dans l'espace. Le sujet est ainsi devenu géométrie diophantienne. De nombreuses questions sont maintenant […]

L'effet papillon, cher aux médias, est le fait que certains systèmes (par exemple la météo) sont sensibles aux conditions initiales (une petite perturbation conduit rapidement à des trajectoires divergentes) et donc difficiles à prévoir. De manière étonnante, du point de vue mathématique, cette instabilité est plutôt un avantage : les systèmes les plus chaotiques (appelés uniformément hyperboliques) sont en un sens les mieux compris, et les plus prévisibles à long terme. J'expliquerai ce paradoxe apparent, en montrant comment des systèmes déterministes ont en fait beaucoup à voir avec les probabilités.

Les réseaux complexes sont omniprésents dans nos sociétés et interviennent dans de nombreux domaines: des mathématiques, à la physique, la biologie, jusqu'à la sociologie et l'urbanisme, les réseaux sont le support de nombreux processus dynamiques. Il s'agit alors de comprendre leur structure et comment elle impacte les propriétés dynamiques. J'illustrerai ceci dans le cas de l'épidémiologie théorique avec le problème du seuil épidémique dans les réseaux de contact et la propagation de pandémies. Ces problèmes illustrent bien l'aspect à la fois très mathématique de ces questions et leurs conséquences très […]

Les pavages par dominos du diamant aztèque ont été introduits au début des années 90 pour leur lien avec les matrices à signes alternants et les lambda-déterminants. Leur énumération est particulièrement élégante puisqu'il existe 2^{n(n+1)/2} pavages de taille n. Nous ferons une promenade combinatoire grâce à ces pavages: énumération, bijection, fonctions symétriques, génération aléatoire, formes limites... Cela nous emmènera vers des objets plus généraux: les pavages pentus, tout récemment définis par J. Bouttier, G. Chapuy et S. Corteel.

Les équations d'Euler et de Navier-Stokes sont les équations reines de la mécanique des fluides. Bien qu'elles constituent aujourd'hui des modèles incontestés, elles mènent parfois à des conclusions surprenantes, à l'image du célèbre paradoxe de d'Alembert. L'objet de l'exposé est de présenter de manière simple ces EDP, les paradoxes qui leur sont associés, et comment ces paradoxes débouchent sur des problèmes mathématiques difficiles et actuels.

Par son ouvrage De l'origine des espèces paru en 1859, Darwin révolutionne la biologie en proposant une théorie de l'évolution des espèces vivantes. Cette théorie repose sur la variabilité des caractères génétiques et le processus de sélection naturelle. Au 20ième siècle, de nombreux mathématiciens se sont penchés sur la modélisation de cette théorie et ils ont, pour ce faire, développé des idées et objets probabilistes importants. Je raconterai ce développement des idées et expliquerai un modèle récent pour l'évolution de bactéries et leur adaptation à des ressources. Ce modèle combinera […]