La /quantité/ /imaginaire/ ou /impossible/ voit révélée sa forme canonique (1746-) et enfin trouvée sa prétendue /réalisation/ géométrique (1806-)

Durant la première moitié du 19e siècle, les géomètres mettent en ?uvre des procédures variées pour justifier l'utilisation d'éléments imaginaires en géométrie. Que les points imaginaires apparaissent pour étendre l'idée de corrélation comme Carnot, comme une conséquence du principe de continuité chez Poncelet, pour étendre la notion de points conjugués par rapport à deux autres ou comme points fixes de formes projectives, leur introduction est légitimée par une exigence de généralisation des résultats de la géométrie pure.

En 1752, d'Alembert inaugura une méthode de résolution des équations du mouvement d'un fluide incompressible bidimensionnel via l'introduction d'une fonction (holomorphe) de variable complexe. Cette méthode connut quelques beaux succès au 19e siècle et au début du 20e siècle, particulièrement dans le travail de Helmholtz sur les mouvements discontinus de fluides et dans le travail de Kutta sur les ailes d'avion. Dans certains cas, la situation physique suggéra de nouvelles mathématiques, dans d'autres la méthode mathématique permit d'introduire un concept physique nouveau.

A la fin du 19e siècle, le mathématicien américain Frank Morley découvrit (en cherchant tout autre chose) une propriété de la géométrie du triangle qui l'a rendu célèbre : les points d'intersections des trisectrices déterminent un triangle équilatéral... Nous essaierons de comprendre sa quête, sa démarche et ses méthodes, qui peuvent apparaître aujourd'hui comme fondatrices de l'utilisation des nombres complexes en géométrie plane.

La géométrie du 20e siècle se développe en s'interrogeant explicitement sur la nature, la spécificité, les limites de de validité de ses objets plus particulièrement sur leur caractérisation en référence aux grands partages disciplinaires: le cas est particulièrement frappant si l'on considère les relations de l'algébrique et de l'analytique complexe. Je présenterai quelques analyses portant sur les relations établies par la théorie géométrique elle-même entre les objets algébriques et les objets analytiques à travers le théorème fondateur de ce genre de réflexion, le théorème de Chow. Je resterai très près […]

On essaiera de montrer en quoi les fonctions de plusieurs variables complexes constituent un domaine d'harmonie originaire dans le développement métaphysique et conceptuellement fluide de la théorie des groupes continus de transformations.