Inégalités de Strichartz et phénomènes de scattering pour les équations de Schrödinger et de Gross-Pitaevskii: Dans ce mini-cours, on commencera par discuter des phénomènes de dispersion pour le laplacien. On expliquera la décroissance locale et ponctuelle des solutions de l'équation de Schrödinger linéaire avant d'expliciter la forme sous laquelle on exploite la dispersion dans les problèmes semi-linéaires, à savoir, les estimées de Strichartz. On montrera alors la stabilité asymptotique de la solution nulle par des méthodes de scattering pour l'équation de Schrödinger cubique ou quadratique pour des petites données initiales. […]

Mini-cours: Nous nous intéressons au lien entre l’équation de Boltzmann (élastique) et l’équation de Navier-Stokes incompressible. Nous ne traiterons que le cas de collisions de type sphères dures dans le tore. Dans un premier temps, nous présenterons l’équation de Boltzmann et ses principales caractéristiques. Nous donnerons également des estimations d’énergie sur l’équation de Boltzmann remise à l’échelle. Grâce à ces estimations, nous pourrons ensuite dériver l’équation de Navier-Stokes incompressible à partir de l’équation de Boltzmann (et prouver un résultat de convergence faible). Exposé: Dans la première partie de l’exposé, nous […]

We discuss the construction of a class of global, dynamical solutions to the 3d Euler equations near the stationary state given by uniform "rigid body" rotation. These solutions are axisymmetric, of Sobolev regularity and have non-vanishing swirl. At the heart of this result is a dispersive effect due to rotation, which we discuss with some context. In our approach, it is captured in a "method of partial symmetries", which is adapted to maximally exploit the symmetries of this anisotropic problem, both for the linear and nonlinear analysis, and allows to […]