Dans cet exposé, j'essaierai de relier les problèmes de discrétisation de dynamiques, de rotations d'images numériques et de pavages par des cubes.

Soit A un anneau commutatif unitaire. Peut-on définir l'ensemble des éléments non nuls de A par une formule ne contenant que des conjonctions et disjonctions (mais pas de négations !) d'égalités polynomiales, et seulement le quantificateur ∃ ? Moret-Bailly a décrit de grandes classes d'anneaux pour lesquelles la réponse est positive, et d'autres pour lesquelles elle est négative ; ces descriptions que je présenterai mettent en jeu de l'algèbre commutative et de la géométrie analytique complexe.

Le théorème central limite est un des résultats fondamentaux de la théorie des probabilités, qui indique que les sommes de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées sont asymptotiquement gaussiennes. Dans cet exposé, j'expliquerai comment ce résultat se place dans un contexte plus général : les projections de basses dimension de vecteurs en grande dimension sont souvent (mais pas toujours) proches de suivre un loi gaussienne.

Considérons un espace donné par l’ensemble des solutions complexes d’un système d’équations polynomiales. En dézoomant de plus en plus, on voit apparaître un espace d’apparence plus simple, de nature essentiellement combinatoire. Cette propriété peut s’interpréter comme une instance d’un phénomène plus général de dégénérescence d’espaces complexes vers un espace d’une autre sorte, dit espace ultramétrique. Nous expliquerons comment donner un sens précis à ces idées à l’aide de la théorie des espaces de Berkovich hybrides. Nous présenterons également quelques exemples d’applications.

Considérons un espace muni d’une multiplication m : X x X -> X. On peut demander que m soit commutative, c’est-à-dire m(x,y) = m(y,x), mais souvent en topologie, c’est trop demander. Que se passe-t-il si on relaxe cette condition, en demandant uniquement que (x,y) -> m(x,y) soit homotope à (x,y) -> m(y,x), c’est-à-dire qu’on peut déformer continument la première application en la seconde ? Peut-on prétendre que notre multiplication est commutative ? Cette question est à l’origine de beaucoup de développements modernes en théorie de l’homotopie, et nous verrons qu’elle […]