Ces quotients de factorielles sont toujours des nombres entiers, essayez de le prouver en calculant leur valuation p-adique ! Derrière cette propriété élémentaire se cache le fait qu'une certaine fonction hypergéométrique est algébrique, comme l'a observé Rodríguez Villegas il y a quinze ans. Je prendrai son théorème — que j'aurais tant voulu démontrer moi-même — comme excuse pour parler de l'une des plus belles idées des maths, la monodromie, et de comment reconnaître les fonctions algébriques parmi les solutions d'équations différentielles linéaires.

Dans cet exposé, je vais expliquer comment on peut construire des surfaces hyperboliques à partir de morceaux de ce qu'on appelle le plan hyperbolique. Je parlerai de courbes sur ces surfaces et d'un problème ouvert à propos des courbes "très courtes".

Depuis les travaux de Wigner dans les années 50, les matrices aléatoires ont connu un succès spectaculaire. Il est conjecturé que leurs valeurs propres décrivent de nombreux phénomènes physiques et mathématiques -- la conjecture de Montgomery sur les zéros de la fonction zeta de Riemann est l'un des exemples les plus célèbres -- même si quasiment rien n’est rigoureusement prouvé à l’heure actuelle. J’expliquerai dans cet exposé comment étudier le spectre de ces matrices en suivant l’approche ``objective'' préconisée par Aldous, implémentée par Edelman et Sutton en 2006 et poursuivie notamment […]

On s'intéressera aux vibrations propres d'un domaine plan (une peau de tambour) dans la limite des hautes énergies (des grandes valeurs propres) et on se posera les questions suivantes : ces vibrations propres ont-elles tendance à s'équirépartir dans le domaine plan ? Ou au contraire, peuvent-elles se concentrer dans un sous-domaine ? Comment ces propriétés sont-elles liées à la dynamique du billard associé et donc à la forme du tambour ?