Séminaire Analyse non linéaire et EDP

Le premier exposé présentera quelques modèles de matrices aléatoires, et quelques méthodes pour les étudier, notamment en grande dimension. L'accent sera mis en particulier sur des propriétés asymptotiques globales des spectres. Cet exposé est conçu pour être accessible au plus grand nombre.Le second exposé sera consacré à des modèles de gas de Coulomb, qui, en basse dimension, décrivent les spectres de modèles de matrices aléatoires. Nous présenterons des inégalités de concentration pour la mesure empirique, puis des propriétés dynamiques en liaison avec une équation d'évolution champ moyen.

On conjecture que les equations dispersives non-linéaires, dans un regimeturbulent faiblement non-lineaire, peuvent être décrites par une equationcinetique appelee l'equation des ondes cinetiques (kinetic wave equation).Je presenterai une derivation partielle de cette equation, dans le cas del'equation de Schrodinger non-linéaire posee sur un tore, rationnel ouirrationnel. Les propriétés spectrales du laplacien sur le tore conduisenta des questions intéressantes de théorie des nombres. Il s'agit d'untravail en collaboration avec T. Buckmaster, Z. Hani et J. Shatah.

Ces quinze dernières années, de nombreux progrès ont été faits dans la compréhension du spectre de Ruelle associé à un système dynamique de nature hyperbolique. Plus précisément, il s'agit de décrire les propriétés asymptotiques de certaines équations de transport linéaire associées à un champ de vecteurs vérifiant des propriétés d'hyperbolicité au sens des systèmes dynamiques.Dans une première partie, je présenterai ces problématiques ainsi que certains résultats marquants de ce domaine et le type d'outils analytiques mis en jeu (espaces de Sobolev anisotropes, etc.). Dans une seconde partie, je me focaliserai […]

Dans la partie mini-cours, je montrerai quelques résultats au tableau sur le comportement asymptotique de solutions d'équations de réaction-diffusion dans R^N.Les fronts standard de réaction-diffusion peuvent être vus comme des exemples de fronts de transition généralisés décrivant l'invasion d'un état par un autre. Ces fronts généralisés sont définis par des limites uniformes, pour la distance géodésique, à des surfaces dépendant du temps (typiquement, ces surfaces peuvent représenter dans certains cas les ensembles de niveau de la solution). L'existence de fronts de transition a été prouvée dans divers contextes où les […]

On dispose de nombreux travaux traitant la formation de singularités pour des équations d'évolution non linéaires invariantes par scaling. Dans cet exposé, je présenterai l'approche qui consiste à construire des solutions qui explosent en temps fini par concentration du soliton. La première partie de l'exposé portera sur la stratégie générale de cette approche constructive. Les solitons étant au coeur de ces phénomènes, je débuterai le cours par un aperçu des ingrédients rentrant en jeu dans l'étude de deux types de solitons. Le premier en lien avec le problème de Yamabe […]

In the first part of this talk, we introduce the notion of viscosity solutions for nonlocal elliptic equations and revisit the two main tools used in the analysis of such problems, that is comparison principle and regularity. In the second part, we describe the use of these concepts in the study of periodic homogenization for nonlocal equations.

Dans la première séance, on présentera une méthode de construction de solutions d'équations aux dérivées partielles (EDP) avec comportement prescris. La méthode sera illustrée au moyen du cas de l'équation semilinéaire de la chaleur avec nonlinéarité polynomiale. On tâchera d'expliquer la méthode en recourant à des exemples plus simples tirés des équations différentielles ordinaires (EDO).Lors de la seconde séance, on mettra en oeuvre la méthode sur une EDP plus élaborée, celle présentant une double source polynomiale, fonction de la solution et de son gradient, en proportion critique.

JG: In this talk, I will discuss fundamental properties of the solutions to the incompressible Navier–Stokes equations in three dimensions. After reviewing the classical local well-posedness results, I will explain how numerical simulations suggest local ill-posedness at the borderline of the known results. I will discuss a plausible scenario of non-uniqueness from smooth initial data through finite-time blow-up. Finally, I will describe how this scenario is actually happening in a model equation sharing the same fundamental properties as the Navier–Stokes equations.KM: Singularities of the Navier-Stokes equations occur when some derivative […]