ANNÉE 2021-2022

Ces quotients de factorielles sont toujours des nombres entiers, essayez de le prouver en calculant leur valuation p-adique ! Derrière cette propriété élémentaire se cache le fait qu'une certaine fonction hypergéométrique est algébrique, comme l'a observé Rodríguez Villegas il y a quinze ans. Je prendrai son théorème — que j'aurais tant voulu démontrer moi-même — comme excuse pour parler de l'une des plus belles idées des maths, la monodromie, et de comment reconnaître les fonctions algébriques parmi les solutions d'équations différentielles linéaires.

Dans cet exposé, je vais expliquer comment on peut construire des surfaces hyperboliques à partir de morceaux de ce qu'on appelle le plan hyperbolique. Je parlerai de courbes sur ces surfaces et d'un problème ouvert à propos des courbes "très courtes".

Depuis les travaux de Wigner dans les années 50, les matrices aléatoires ont connu un succès spectaculaire. Il est conjecturé que leurs valeurs propres décrivent de nombreux phénomènes physiques et mathématiques -- la conjecture de Montgomery sur les zéros de la fonction zeta de Riemann est l'un des exemples les plus célèbres -- même si quasiment rien n’est rigoureusement prouvé à l’heure actuelle. J’expliquerai dans cet exposé comment étudier le spectre de ces matrices en suivant l’approche ``objective'' préconisée par Aldous, implémentée par Edelman et Sutton en 2006 et poursuivie notamment […]

On s'intéressera aux vibrations propres d'un domaine plan (une peau de tambour) dans la limite des hautes énergies (des grandes valeurs propres) et on se posera les questions suivantes : ces vibrations propres ont-elles tendance à s'équirépartir dans le domaine plan ? Ou au contraire, peuvent-elles se concentrer dans un sous-domaine ? Comment ces propriétés sont-elles liées à la dynamique du billard associé et donc à la forme du tambour ?

En partant des questions autour du concept tendrement enfantin de coloriage de graphes, j’expliquerai comment la description des phénomènes de log-concavité en combinatoire nous a amené au développement d’une théorie de Hodge tropicale et aux équations de Monge-Ampère en lien avec des phénomènes mathématiques prédits par la théorie des cordes. Le contenu de l’exposé est basé sur nos travaux en cours avec Matthieu Piquerez.

Ivar Ekeland Comment utiliser une ressource naturelle : le cas de la pêche Je chercherai à montrer, dans le cas de la pêche, comment les interactions de l'humanité avec le vivant sont conditionnées par les structures sociales: ce n'est pas la même chose si les poissons sont considérés comme un bien commun, ou s'ils sont exploités dans le cadre d'un marché ou d'un monopole. L'exposé s'appuiera sur un modèle mathématique simple (Gordon-Schaefer 1954) qui a l'avantage rare d'être couramment utilisé par les scientifiques, l'industrie et les pouvoirs publics.  

Laurent Desvillettes Équations intégrodifférentielles et EDP : utilisation en biologie théorique On montre comment certaines questions fondamentales de biologie peuvent parfois être formalisées par des équations et systèmes d'équations, puis étudiées en utilisant des méthodes d'analyse (mesures, analyse de Fourier).  

Gérard Ben Arous Complexité topologique des fonctions d’un grand nombre de variables Considérons une fonction très simple de N variables (disons un polynôme homogène pour être concret). Quand N est grand, est-ce que cette fonction peut être topologiquement complexe ? Plus précisément, que peut-on dire de la topologie des lignes de niveau, du nombre de points critiques, de minima locaux ? Que peut-on dire si l’on tire cette fonction au hasard ? Je vais essayer de répondre a ces questions, et montrer le rôle surprenant de la théorie des matrices […]

Antoine Ducros Arithmétique et géométrie autour des nombres p-adiques À tout nombre premier p est associé le corps Qp dit des nombres p-adiques, qui est la complétion de Q pour une valeur absolue un peu inhabituelle qui vérifie l’inégalité |p|<1. Dans cet exposé, je présenterai ce corps Qp et montrerai par quelques exemples son intérêt en arithmétique. Puis je parlerai un peu de géométrie analytique sur ce Qp en expliquant les raisons qui ont poussé à la développer, les obstacles rencontrés et les grandes idées qui ont permis de les surmonter […]

Marie Théret Percolation de premier passage et sous-additivité Considérons le graphe de sommets les points de Zd muni des arêtes reliant les sommets à distance euclidienne 1. Le modèle de percolation de premier passage sur Zd consiste à associer aux arêtes de ce graphe une famille de variables aléatoires indépendantes et de même loi, à valeurs positives. La variable associée à une arête représente le temps nécessaire pour traverser l'arête, ce qui permet de modéliser des phénomènes de propagation (propagation d'une information dans un réseau social, d'une maladie au sein […]

Olga Paris-Romaskevich Un piano parfait ou une introduction aux mots sturmiens Prenez le clavier d’un piano et écrivez (mentalement !) sur chacune de ses touches les mois de l’année, en commençant par le mois janvier sur la note fa. Fa dièse serait annotée comme février, puis sol comme mars, etc. Vous bouclerez sans surprise, comme il y a 12 notes dans une octave. Mais vous vous apercevrez que les cinq mois courts de l’année se retrouveront tous sur les notes noires. Dans cet exposé, nous allons voir que cela ne […]

Patrick Massot Pourquoi raconter des maths aux ordinateurs ? De plus en plus de mathématiciens s'amusent en expliquant des mathématiques aux ordinateurs via des logiciels appelés assistants de preuves. Dans cet exposé j'expliquerai à quoi ressemble ce processus, dit de formalisation, quel genre de choses il nous apprend et comment il pourrait même s'avérer utile (en notre sens habituel du mot « utile »).