Dans cette exposé on va s’intéresser à comment mesurer la distance entre deux points sur la sphère dans R^3. Cela se fait à l’aide de métriques. On va donc étudier l’espace de toute les métriques avec l’espoir d’en trouver une plus spéciale que les autres. Mais attention ! Cet espace est de dimension infinie…
Au cours des 50 dernières années, des structures algébriques supérieures sont apparues graduellement en algèbre, géométrie, topologie et physique mathématique. Elles ont permis de mieux comprendre la nature profonde de nombreuses notions et elles sont au coeur de démonstrations de conjectures ouvertes. Les structures algébriques classiques comme les algèbres associatives, commutatives ou de Lie souvent souvent définies par une seule opération, ces structures supérieures (algèbres homotopiques, catégories supérieures) sont faites de séries infinies d’opérations cohérentes. Il ne faut pas se laisser effrayer par un tel phénomène car il existe maintenant […]
Ce séminaire est une introduction à la série de cours Maths appli à travers des jouets. Il s’agit d’une série de conférences agrémentées de maintes manips, sur divers thèmes. « Jouet » ici porte un sens spécial : une chose de la vie quotidienne que tout le monde peut trouver, et qui pourtant, si on manie avec imagination, révèle un comportement surprenant les physiciens/mathématiciens. (Ne pas confondre avec « jeu ».) Avez-vous observé un enfant quand on lui offre un jouet au sens usuel ? Souvent, il n’accorde nulle attention […]
Dans la théorie des représentations automorphes (et probablement beaucoup d'autres branches des mathématiques), une fois que l'on a réussi à enlever tout le formalisme compliqué qui entoure un problème, on se retrouve souvent avec une identité combinatoire à prouver, et on se rend que l'identité combinatoire était plus compliquée que le formalisme. Je présenterai une telle identité venant de mon propre travail, et mes efforts pour la prouver de manière naturelle avec l'aide de collègues plus compétents. Aucune connaissance des représentations automorphes ne sera nécessaire pour comprendre cet exposé.
Une transformation birationnelle du plan est une "application" dont les coordonnées sont des fractions rationnelles et qui possèdent un inverse de la même forme. Par exemple (x,y)-->(1/x, 1/y) ou (x,y)--> (x,y+p(x)). Ce groupe est très large, mais il possède quand même un ensemble des générateurs assez agréable. Par contre, pour le groupe analogue en dimension trois et plus on ne connait pas d'ensemble des générateurs agréable (bon, le groupe entier, mais ce n'est pas ce que j'appelle agréable). Dans cet exposé on va découvrir ces groupes fascinants, qui sont étudiés […]
Sur un compact, l'inégalité de Hölder montre que si une fonction est $L^p$ pour $p \geq 2$, alors elle est aussi dans $L^2$. Dans cet exposé, on verra que si on choisit "aléatoirement" une fonction dans $L^2$, alors elle est aussi dans $L^p$ pour tout $p < \infty$. Nous montrerons aussi qu'avec des hypothèses supplémentaires faibles, cette fonction est continue !
On discutera la motivation et les bases de la logique continue et de la théorie des modèles des structures métriques. Si le temps le permet, je mentionnerai quelques applications de celle-ci à la dynamique des groupes polonais. Enfin, je présenterai la logique affine, un fragment distingué de la logique continue, et j'expliquerai pourquoi celui-ci est remarquablement bien adapté pour une approche modèle-théorique de la théorie ergodique.
Dans cet exposé nous aborderons deux sujets: la théorie de la stabilisation et l'IA pour les mathématiques. La stabilisation est une branche de la théorie du contrôle qui consiste à se demander: "si je peux agir sur un système, que puis-je lui faire faire ?" Cette théorie a la particularité de mêler des aspects très théoriques et très divers ainsi que des aspects très appliqués. Nous parlerons ensuite d'IA pour les mathématiques et nous nous demanderons s'il est possible d'apprendre des mathématiques à une IA. En particulier, est-ce qu'une IA […]
Les « assistants de preuve » sont des logiciels qui permettent d'entrer un énoncé de théorème et sa démonstration comme un programme, la compilation dudit programme garantissant que la démonstration proposée prouve effectivement l'énoncé donné. Initiés dans les années 60, ils font l'objet d'une grande activité scientifique depuis une trentaine d'années et ont permis de vérifier la correction d'énoncés tout à fait non triviaux. Intéressé par ces développements, je me suis appliqué à démontrer la simplicité du groupe alterné au sein du logiciel Lean et de sa librairie mathématique mathlib. […]
Il y a 266 ans, Euler introduit la première description mathématique cohérente des fluides et 25 ans plus tard, Monge initie la théorie du transport optimal. Ces sujets n'ont rien perdu de leur actualité et je voudrais expliquer leur lien via l'optimisation combinatoire.
Le « problème des rencontres » est le calcul de la probabilité qu'une permutation prise au hasard dans le groupe symétrique ait un nombre donné de points fixes. Via le théorème de Cebotarev, cette quantité apparaît en arithmétique comme la proportion de nombres premiers pour lesquels la réduction modulo p d'un polynôme à coefficients entiers génériques a un nombre donné de racines. J'expliquerai une démonstration exotique du problème de rencontres, basée sur les représentations du "groupe symétrique" S_t en un nombre complexe t d'éléments, et j'énoncerai une conjecture sur les […]
Un système dynamique est un système qui évolue au cours du temps, souvent modélisé par l'itération d'une application d'un ensemble X dans lui-même. Beaucoup de systèmes dynamiques naturels sont modélisés par une dynamique dite conservative, les plus simples de ces dynamiques étant les difféomorphismes des surfaces qui préservent l’aire. Les premiers ensembles invariants étudiés pour ces dynamiques sont en général les orbites périodiques, mais nous allons nous intéresser à des ensembles invariants un peu plus complexes qui sont des ensembles de Cantor. Nous en décrirons de deux types, et expliquerons […]
