Séminaire Des mathématiques

Il y a cent ans, pendant la préhistoire de la mécanique quantique, se posait la question de trouver des conditions de quantification pour décrire le spectre des atomes. Einstein en particulier s'est interrogé sur la quantification des systèmes qui ont la propriété d'ergodicité en mécanique classique. Nous ferons le point sur les principales conjectures liées à cette question, et décrirons quelques résultats récents, en insistant plus particulièrement sur la propriété appelée ergodicité quantique.

Au delà de la preuve par Hermite et Lindemann de la transcendance des constantes e et $pi$,Les nombres algébriques sont ceux qui sont solution d'une équation polynomiale (non triviale) à coefficients rationnels ;les autres sont appelés transcendants, parmi lesquels $e$ (Hermite) et $pi$ (Lindemann). De même, les fonctions algébriques (d'une variable $z$) sont celles qui sont solutiond'une équation polynomiale (non triviale) à coefficients polynomiaux ; les autres sont qualifiées de transcendantes,par exemple la fonction exponentielle.La théorie des nombres transcendants s'attache à établir la transcendance de valeurs de fonctions méromorphes transcendantes,ou, […]

Les fractals sont bien acceptés en géométrie, en partie grâce aux efforts de Benoît Mandelbrot : une fougère est fractale car ses ramilles sont semblables à la fougère originale, à plus petite échelle. Qu'en est-il en algèbre ? Qu'est-ce qu'un «groupe fractal», une «algèbre fractale» ? Je donnerai quelques exemples de tels objets, ainsi que certaines de leurs propriétés les plus remarquables.

Les réseaux résistifs sont des graphes non orientés dont les arêtes sont munies de poids positifs (les résistances). Ce cadre a priori simpliste permet de construire une théorie très complète qui est le pendant discret des équations aux dérivées partielles (en particulier elliptiques) posées dans un domaine euclidien, ou sur une variété. Nous verrons que, si le cadre semble plus abordable que celui des EDP, il est par certains aspects plus riche et plus général. Nous nous intéresserons en particulier, dans le cas de réseaux infinis, au problème de la […]

Dans cette présentation, on essaiera de comparer deux traits (par exemple poids et taille) mesurés sur des organismes apparentés. On expliquera pourquoi les comparaisons naïves sont vouées à l'échec avant de présenter le cadre mathématique des Méthodes Phylogénétiques Comparatives (ou PCM). On discutera les hypothèses et les outils sous-jacents à ces méthodes avant d'illustrer leur usage sur un exemple.

Les techniques d'imagerie classiques utilisent des ondes pour sonder un milieu inconnu et sont employées pour des applications médicales (échographie) ou géophysiques (séismologie) par exemple. Ces ondes sont émises par des réseaux de sources et après propagation dans le milieu elles sont enregistrées par des réseaux de récepteurs. Ces techniques sont généralement mises en défaut lorsqu'on les utilise dans des milieux diffusants contenant des inhomogénéités aléatoires, car les signaux cohérents venant des réflecteurs à imager et enregistrés par les réseaux de récepteurs sont souvent noyés par les signaux incohérents venant […]

Le groupe de classes d'un corps cyclotomique est un objet fascinant qui possède de très belles propriétés de nature arithmétique. Dans cet exposé, je voudrais discuter un théorème de Ribet concernant ce groupe et expliquer comment la théorie des représentations galoisiennes intervient dans la preuve découverte par Ribet.

Publié en 1801, ce traité de mathématiques a été traduit en plus de dix langues, qualifié de « monument impérissable à la gloire de l’esprit humain » et a inspiré des développements aussi variés que la théorie de Galois, la théorie algébrique des nombres de Kummer à Hilbert, les tests de primalité de Lucas-Lehmer ou l’hypothèse de Riemann sur les corps finis, et bien d’autres mathématiques sur plus de deux siècles. L’exposé présentera l’ouvrage et son auteur, quelques-unes des mathématiques auquel les Disquisitiones ont donné lieu et ce faisant discutera […]

http://www.math.ens.fr/~mourrat/desmaths_eynard.pdf

Dans cet exposé je discuterai de la conjecture de cristallisation, qui consiste à prouver que des points se mettent automatiquement sur un réseau périodique, dans certaines situations. Je parlerai principalement du cas particulier des gaz de Riesz et de Coulomb qui sont omniprésents dans de nombreuses branches des mathématiques. Ils décrivent par exemple la répartition des zéros de solutions d'équations aux dérivées partielles, la statistique des valeurs propres des matrices aléatoires, le placement optimal de points de discrétisation sur des surfaces, et sont reliés à la fonction Zeta de Epstein.

En partant d'objets simples comme les polynômes chromatiques, liés au fameux théorème des 4 couleurs, on va explorer quelques invariants - dans lesquels le nombre d'or est omniprésent - associés à des graphes noués dans l'espace. Ce sera l'occasion d'introduire les idées et les problèmes de la topologie dite quantique.

Étant donné un nombre premier p, nous expliquerons tout d’abord comment construire une valeur absolue sur Q, dite p-adique, puis un complété, de la même façon que l’on construit R à partir de Q. Ce complété, le corps des nombres p-adiques, possède des propriétés arithmétiques intéressantes, mais présente de nombreuses pathologies topologiques. Nous expliquerons comment y remédier en le plongeant dans un espace plus grand, un espace de Berkovich, et exposerons quelques applications.