Les systèmes vivants sont caractérisés par leur variabilité qui conduit à une constante évolution. Cela peut s'expliquer, dans une vision très simplifiée, par trois ingrédients: (i) L'environnement fournit des resources partagées par tous les individus, (ii) un 'trait physiologique' caractérise l'adaptation des individus au milieu c'est-à-dire la capacité à utiliser un certain niveau de ressource,(iii) des mutations permettent à de nouveaux types d'individus d'apparaitre, peut-être mieux adaptés, et qui vont ainsi se développer plus vite et changer l'environnement...etcPlusieurs théories mathématiques ont été proposées pour décrire la dynamique engendrée par l'interaction […]

 Si on considère par exemple f(x)=1/4 +3x^2/4, il est facile de voir que six>1 alors f_n(x)=f(f(…(f(x)))) forme une suite monotone croissante vers $+infty$ à vitesse super-exponentielle. Ce qui est moins évident est le fait que cette croissance cache un phénomène périodique surprenant, mis en évidence (ou, plutôt, conjecturé) par T. Harris dans son travail fondamental sur les arbres de Galton-Watson . Ces oscillations sont très petites : on peut les observer assez aisément avec les ordinateurs dont nous disposons aujourd'hui mais une compréhension mathématique satisfaisante manque. Le même phénomène a […]

La Théorie des modèles est une branche de la Logique Mathématique qui est encore mal connue malgré ses nombreuses applications en algèbre, théorie des nombres et géométrie. Le but de cet exposé est, en évitant le formalisme général abstrait, de présenter une introduction à la théorie des modèles à travers des exemples d'applications à l'algèbre. On s'appuiera sur la notion d'ultraproduit qui donne, par exemple, un sens concret et précis à l'énoncé: le corps des nombres complexes est la limite des clôtures algébriques des corps finis à p éléments quand […]

L'équation de la chaleur decouverte par J. Fourier au début du XIX ième siècle est aujourd'hui un thème de recherche à la croisée de l'analyse des E D P , de la géométrie , des probabilités.On découvrira quelques propriétés fondamentales des solutions de ces équations : à savoir qu'une condition initiale positive plus petite que 1 engendre une solution positive et plus petite que 1. Ceci permet de donner une interprétation probabiliste des solutions de l'équation de la chaleur et d'imaginer l'étude de l'équation de la chaleur sur d'autres espaces […]