ANNÉE 2011-2012

Supposons que deux routes mènent d’une même ville à une autre, que l’une soit une autoroute toute droite, et l’autre un chemin campagnard plus long ; si tout le monde choisit la première, elle sera bientôt congestionnée et donc moins efficace que l’autre ; au lendemain, tout le monde changera d’avis et empruntera l’autre... et ça sera encore pire ! Y a-t-il un équilibre ? Est-ce que l’équilibre garantit le moindre temps de parcours pour tout le monde ?Je présenterai les ingrédients pour formaliser ce problème sur un réseau fini […]

Un réseau euclidien est la donnée d’un espace vectoriel euclidien de dimension finie V et d’un sous-groupe Gamma de V, constitué des points de V dont les coordonnées, dans une certaine base de V, sont des nombres entiers. Les réseaux euclidiens interviennent dans de nombreux domaines des mathématiques, allant de la théorie des nombres à la géométrie riemannienne, ainsi qu’en physique du solide, en cryptographie, etc... En dépit de la simplicité de leur définition et de leur ubiquité, ces objets restent aujourd’hui bien mystérieux. Dans cet exposé, on évoquera plusieurs […]

Le célèbre théorème de Perron-Frobenius vient de fêter ses 100 ans. Des démonstrations (parfois simples) et des généralisations voient le jour régulièrement. Je vais sélectionner quelques éléments importants dans l’histoire de cette évolution, à travers des exemples en mécaniques statistiques, systèmes dynamiques et probabilités. Une des plus grandes contributions vient de G. Birkhoff qui introduisit en 1957 un principe de contraction uniforme pour des cônes (réels). Ceci a été ma source d’inspiration pour développer un principe de contraction uniforme pour des `cônes complexes’ et ainsi obtenir des théorèmes de type […]

Je commencerai par rappeler un vieux problème, dit des boeufs et attribué à Archimède. Sa résolution, essentiellement équivalente à celle de l’équation de Pell-Fermat, conduit naturellement à la construction de certaines variétés (hyperboliques réelles) associées à des formes quadratiques. Après une brève introduction à la géométrie hyperbolique, j’expliquerai en quoi ces variétés ont une musique particulière en détaillant en particulier un problème ouvert important : la conjecture de Selberg.

Transport optimal, de l’économie à la physique à la géométrie

Soit K un corps. La correspondance de Langlands est une bijection entre deux types d’objets mathématiques : des représentations du groupe Gln(K) des matrices inversibles de dimension n à coefficients dans K et des représentations, dites galoisiennes, qui décrivent l’arithmétique du corps K. Dans cet exposé, nous présentons la version p-adique de cette correspondance, version qui n’existe que pour n=2 et K le corps des nombres p-adiques. De multiples stratégies sont développées pour traiter les autres cas. C’est l’objet du programme de Langlands p-adique.

La topologie quantique est une branche de la topologie en petite dimension née il y a 30 ans environs avec la découverte du polynôme de Jones, probablement l’invariant de noeuds dans l’espace le plus fameux aujourd’hui. Les techniques et les idées qui sont à la base de cette théorie se situent au milieu de plusieurs sujet : la physique (par la théorie des champs), l’algèbre (par la théorie des représentations des groupes quantiques), la géométrie (par l’étude des espaces des représentations des groupes de surfaces) et bien évidemment la topologie. […]

Dans cet exposé, on montrera comment des considérations deprobabilités et d'algèbre se confrontent dans l'étude des matricesaléatoires. On commencera par expliquer comment on détermine la loides valeurs propres et vecteurs propres d'une matrice dont descoefficients sont des variables aléatoires gaussiennes indépendantes.On verra alors que les valeurs propres d'une telle matrice peuventêtre comprises comme des particules soumises à deux forcesantinomiques : un potentiel qui les confine au voisinage de l'origineet des interactions répulsives qui les poussent à s'écarter les unesdes autres. On fera alors tendre la dimension des matrices versl'infini et […]

La notion de code identifiant a été introduite par Karpovsky et al. en 1998 afin de modéliser les problèmes de détection et localisation de pannes dans les réseaux multi-processeurs. On peut imaginer un code identifiant comme un ensemble de capteurs placés sur un graphe permettant de détecter et localiser un intrus se cachant sur un sommet, l'idée étant de placer le moins de capteurs possibles pour réaliser cette tâche.Plus précisément, un code identifiant C dans un graphe non-orienté est un ensemble couvrant (dominating set) qui permet de plus l'identification des […]

Les théories de jauge forment le cadre dans lequel les physiciens théoriciens d'aujourd'hui parviennent à décrire et à prédire le comportement de la matière à l'échelle de l'infiniment petit. Ce que les physiciens observent dans le Large Hadron Collider (LHC, Grand collisionneur de hadrons) par exemple, permet entre autres de vérifier et d'affiner le Modèle Standard, qui est une théorie de jauge particulièrement sophistiquée.Les théories de jauge ne sont pas des théories récentes : les premières ont commencé à être élaborées presque en même temps que la mécanique quantique, dans […]

Le processus d'exclusion est l'un des modèles les plus simples de transport aléatoire de particules. De nombreux miracles algébriques apparaissent dans son étude probabiliste et révèlent une structure sous-jacente que je décrirai. Nous rencontrerons ainsi des algèbres quantiques, de la théorie des représentations et des relations de Yang-Baxter liées aux tresses. J'essaierai autant que possible de montrer comment ces propriétés abstraites permettent de calculer des quantités concrètes qui intéressent les physiciens.

Dans cet exposé on décrit le lien entre quelques jeux déterministes simples et les solutions de certaines Equations aux Dérivées Partielles, via la théorie du controle optimal. Ce lien permet à la fois de résoudre ces EDP et de comprendre les stratégies optimales pour les jeux correspondants.